这个多项式是正方形的吗？

Question

给定一个积分多项式p，确定p是否是另一个积分多项式的平方。

积分多项式是以整数为系数的多项式。

例如，x^2+2x+1应该给出真相，因为x^2+2x+1 = (x+1)^2。

另一方面，2x^2+4x+2应该给出谎言：2x^2+4x+2 = (\sqrt{2}x+\sqrt{2})^2。但是\sqrt{2}x+\sqrt{2}并不是一个积分多项式。

输入

一个多项式，任何合理的格式。例如，多项式x^4-4x^3+5x^2-2x可以表示为：

• 按降序排列的系数列表：[1,-4,5,-2,0]；
• 按升序排列的系数列表：[0,-2,5,-4,1]；
• 按任何顺序排列的一对(coefficient, degree)的列表：[(1,4),(-4,3),(5,2),(-2,1),(0,0)]；
• 以度为键，系数为值的地图：{4:1,3:-4,2:5,1:-2,0:0}；
• 具有选定变量的多项式的字符串表示形式，如x："x^4-4*x^3+5*x^2-2*x"；
• 内建多项式对象，如PARI/GP中的x^4-4*x^3+5*x^2-2*x。

输出

表示多项式是否为正方形的值。你可以选择

• 使用您的语言约定输出真实/错误(允许交换)，或
• 使用两个不同的固定值分别表示真(肯定)或假(负)。

这是密码-高尔夫，所以以字节为单位的最短代码获胜。

测试案例

在这里，我按降序使用系数列表：

Truthy

[]
[25]
[1,2,1]
[1,2,1,0,0]
[1,4,0,-8,4]
[4,28,37,-42,9]
[4,0,-4,4,1,-2,1]
[1,-12,60,-160,240,-192,64]

Falsy

[-1]
[24,1]
[1,111]
[2,4,2]
[1,2,1,0]
[1,3,3,1]
[1,-4,5,-2,0]
[4,0,-4,4,1,2,1]
[1,-9,30,-45,30,-9,1]

Answer 1

JavaScript (Node.js)，102个字节

a=>a.some(n=>(b[j=i]=b.map(m=>n-=m*~~b[j--])|b[0]?n/2/b[0]:n**.5)%(1/a[i+i++]?1:1/0)!=0,b=[],i=0)|1&~i

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按降序输入系数列表。列表应该只包含一个零，或者列表中的第一个值应该是非零。

我相信这是正确的。但我不能用我的数学知识证明这一点。它至少通过了所有的测试。

Answer 2

Python3,289个字节：

R=range
def m(a,b):
 r={}
 for x,y in a:
  for j,k in b:r[y+k]=r.get(y+k,0)+x*j
 return[(r[i],i)for i in r]
def c(d,k=[]):
 if[]==d:yield k;return
 for x in R(abs(d[0][0])+1):
  for e in R(d[0][1]+1):
   for i in[1,-1]:yield from c(d[1:],k+[(i*x,e)])
f=lambda x:any(x==m(i,i)for i in c(x))

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基本的蛮力。

Answer 3

木炭，56字节

﹪Ｌθ²Ｆ⟦§θ⁰↨θΠ⊗⊕↔θ⟧«≔×⁰↨ι⁴ζＦＬ櫧≔ζκ¹§≔ζꬋιＸ↨²ζ²»¿⁻ιＸ↨²ζ²⎚

在网上试试！链接是详细的代码版本。不支持空列表(使用[0]代替)。输出木炭布尔值，即如果-认为多项式是正方形，则不输出。说明:由于@tsh击败了我原来的算法，所以我选择了这种方法，但我只能证明它没有错误的负数。如果有人能想出一个反例，我将删除这个答案，等待使用@tsh的方法重写。编辑:找到了一个反例，但@Nitrodon的说法是，只有奇数度的多项式才能成为反例，所以我花了5个字节来检查多项式是否为偶数。编辑:找到了另一个反例，所以我花了6个字节来检查前导系数是一个完美的平方。

﹪Ｌθ²

如果多项式为偶数度，则输出-。

Ｆ⟦§θ⁰↨θΠ⊗⊕↔θ⟧«

求出一个非常大的整数，取所有系数的绝对值，递增并加倍，然后取乘积。在此值下计算多项式。对多项式的前导系数和结果进行循环。

≔×⁰↨ι⁴ζＦＬ櫧≔ζκ¹§≔ζꬋιＸ↨²ζ²»

执行二进制搜索，查找与此值的平方根最近的整数。

¿⁻ιＸ↨²ζ²⎚

如果其平方不等于值，则清除输出。