blocks|key|6583165|text|VC维数为80。|type|unstyled|depth|inlineStyleRanges|entityRanges|data|6583166|集合C=\{1,\dotsc,80\}被H粉碎：|offset|length|style|CODE|6583167|6583168|让A\subseteq+C。注意，%7CA%7C\leq%7CC%7C=80。如果是%7CA%7C\geq20，那么A\in+H已经是证人了。如果是%7CA%7C<20，那么h=A\cup\{81,\dotsc,100\}的大小在20到39之间，因此是H和h\cap+C=A。|6583169|没有一组大小的\geq81被H破坏：|6583170|6583171|让C成为这样一个集合，并考虑\emptyset\subseteq+C。对于任何h\in+H，从%7Ch%7C\geq20开始，我们都有%7Ch\cap+C%7C=%7Ch%7C%2B%7CC%7C-%7Ch\cup+C%7C\geq+20%2B81-100>0，所以是h\cap+C\neq\emptyset。|entityMap|0|INLINETEX|mutability|IMMUTABLE|teX|C=\{1,\dotsc,80\}|1|H|2|A\subseteq+C|3|%7CA%7C\leq%7CC%7C=80|4|%7CA%7C\geq20|5|A\in+H|6|%7CA%7C<20|7|h=A\cup\{81,\dotsc,100\}|8|9|h\cap+C=A|10|\geq81|11|12|C|13|\emptyset\subseteq+C|14|h\in+H|15|%7Ch%7C\geq20|16|%7Ch\cap+C%7C=%7Ch%7C%2B%7CC%7C-%7Ch\cup+C%7C\geq+20%2B81-100>0|17|h\cap+C\neq\emptyset^0|0|2|H|K|1|2|H|0|K|1|1|0|0|1|C|H|D|Y|9|1A|6|1Q|6|1Z|O|32|1|34|9|1|C|2|H|D|3|Y|9|4|1A|6|5|1Q|6|6|1Z|O|7|32|1|8|34|9|9|0|7|6|E|1|7|6|A|E|1|B|0|0|1|1|E|K|13|6|1B|9|1R|17|32|K|1|1|C|E|K|D|13|6|E|1B|9|F|1R|17|G|32|K|H^^$0|@$1|2|3|4|5|6|7|1S|8|@]|9|@]|A|$]]|$1|B|3|C|5|6|7|1T|8|@$D|1U|E|1V|F|G]|$D|1W|E|1X|F|G]]|9|@$D|1Y|E|1Z|1|20]|$D|21|E|22|1|23]]|A|$]]|$1|H|3|-4|5|6|7|24|8|@]|9|@]|A|$]]|$1|I|3|J|5|6|7|25|8|@$D|26|E|27|F|G]|$D|28|E|29|F|G]|$D|2A|E|2B|F|G]|$D|2C|E|2D|F|G]|$D|2E|E|2F|F|G]|$D|2G|E|2H|F|G]|$D|2I|E|2J|F|G]|$D|2K|E|2L|F|G]]|9|@$D|2M|E|2N|1|2O]|$D|2P|E|2Q|1|2R]|$D|2S|E|2T|1|2U]|$D|2V|E|2W|1|2X]|$D|2Y|E|2Z|1|30]|$D|31|E|32|1|33]|$D|34|E|35|1|36]|$D|37|E|38|1|39]]|A|$]]|$1|K|3|L|5|6|7|3A|8|@$D|3B|E|3C|F|G]|$D|3D|E|3E|F|G]]|9|@$D|3F|E|3G|1|3H]|$D|3I|E|3J|1|3K]]|A|$]]|$1|M|3|-4|5|6|7|3L|8|@]|9|@]|A|$]]|$1|N|3|O|5|6|7|3M|8|@$D|3N|E|3O|F|G]|$D|3P|E|3Q|F|G]|$D|3R|E|3S|F|G]|$D|3T|E|3U|F|G]|$D|3V|E|3W|F|G]|$D|3X|E|3Y|F|G]]|9|@$D|3Z|E|40|1|41]|$D|42|E|43|1|44]|$D|45|E|46|1|47]|$D|48|E|49|1|4A]|$D|4B|E|4C|1|4D]|$D|4E|E|4F|1|4G]]|A|$]]]|P|$Q|$5|R|S|T|A|$U|V]]|W|$5|R|S|T|A|$U|X]]|Y|$5|R|S|T|A|$U|Z]]|10|$5|R|S|T|A|$U|11]]|12|$5|R|S|T|A|$U|13]]|14|$5|R|S|T|A|$U|15]]|16|$5|R|S|T|A|$U|17]]|18|$5|R|S|T|A|$U|19]]|1A|$5|R|S|T|A|$U|X]]|1B|$5|R|S|T|A|$U|1C]]|1D|$5|R|S|T|A|$U|1E]]|1F|$5|R|S|T|A|$U|X]]|1G|$5|R|S|T|A|$U|1H]]|1I|$5|R|S|T|A|$U|1J]]|1K|$5|R|S|T|A|$U|1L]]|1M|$5|R|S|T|A|$U|1N]]|1O|$5|R|S|T|A|$U|1P]]|1Q|$5|R|S|T|A|$U|1R]]]]

The VC dimension is 80.
The set $C=\{1,\dotsc,80\}$ is shattered by $H$: 
Let $A\subseteq C$. Note that $|A|\leq|C|=80$. If $|A|\geq20$, then $A\in H$ is already a witness. If $|A|&lt;20$, then $h=A\cup\{81,\dotsc,100\}$ has size between 20 and 39, hence is in $H$, and $h\cap C=A$.
No set of size $\geq81$ is shattered by $H$: 
Let $C$ be such a set, and consider $\emptyset\subseteq C$. For any $h\in H$, since $|h|\geq20$, we have $|h\cap C|=|h|+|C|-|h\cup C|\geq 20+81-100&gt;0$, so $h\cap C\neq\emptyset$.

Let X = {1, 2, 3, ... , 100}. Let H be the class of all subsets of X that contain at least 20 and at most 80 elements. What is the VC-dimension of H?

VC- dimension calculate

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