相对相似度计算的适用性

Question

我计算了a & b (=x)和b & c (=y)之间的余弦相似性。我可以使用相同的嵌入来计算a和c之间的相似性(假设它是= z)。

我有一种情况，我只有相似性度量x和y。如果没有原始的嵌入，我如何找到a和c之间的相似之处？如果我用一个平面来表示这个，那么我就会有无穷多的解。有什么方法可以提供一些关于a和c之间关系的见解吗？

a = torch.Tensor([1, 2])
b = torch.Tensor([1, -1])
c = torch.Tensor([2, 3])

sim_ab = torch.dot(a, b) / (torch.sqrt(sum(torch.square(a)) * sum(torch.square(b))))
sim_ac = torch.dot(a, c) / (torch.sqrt(sum(torch.square(a)) * sum(torch.square(c))))
sim_bc = torch.dot(b, c) / (torch.sqrt(sum(torch.square(b)) * sum(torch.square(c))))

print("Actual similarity between b and c: ", sim_bc)

x = torch.arccos(sim_ab)
y = torch.arccos(sim_ac)

print("Measured similarity between b and c: ", torch.cos(x-y))

>>> Actual similarity between b and c:  tensor(-0.1961)
>>> Measured similarity between b and c:  tensor(-0.1961)

Answer 1

考虑简单的情况通常是有用的，例如，即使在二维(平面)情况下，也无法确定z。两个向量之间的相似性与它们之间的角度(在原点)是相同的，因此：

• 对于固定向量b，如果a有角x到b，那么a位于b的两条线之一。
• 如果另一个向量c的角度为y与b，那么它也位于b的两边之一。

对于a和c之间的角度，这已经给出了两个不同的答案：x+y还是x-y，取决于a和c是否位于b的“同一边”。

在较高的维数中，z的可能角数增加，例如，在三维中，a和c各位于b周围的一个圆锥体上，它们之间有一定的可能角度。

这不是一个证据，但我认为从这一点可以将z绑定到x+y和x-y之间(如果一个值非常小，可能有用，也许不是)，但是不能唯一地定义z。