PLONK Prod检查证据-为什么它必须被证明到最后一个元素的集合？它应该足以证明它是持久的，只有一个元素。

Question

我正在浏览Dan Boneh在PLONK - https://www.youtube.com/watch?v=LbpPCN-f_XA&t=952s上的视频

在19分钟左右，他到达了止痛药。

背景：

\omega \in \mathbb F_p是统一的本原k第四根(即\omega^{k} = 1)。

\Omega = \{1, \omega, \omega^{2}, ..., \omega^{k-1}\}

让t(1) = f(1)和t(\omega^s) = \prod_{i=0}^s f(\omega^i)为s = 1, ..., k-1。

Prover必须证明这一点：

\prod_{a \in \Omega} f(a) = 1

Boneh说Prover可以通过证明两件事来证明上述情况。

1) t(\omega^{k-1}) = 1

和

2) t(\omega\cdot x) - t(x)\cdot f(\omega \cdot x) = 0 for all x \in \Omega (包括x = \omega^{k-1}) )

我的问题是关于包括在第二证据。

我认为它只需要通过x= \omega^{k-2}来证明&最后一个元素\omega^{k-1}可以忽略。

如果我们取x= \omega^{k-1}，那么第二个方程

t(\omega\cdot x) - t(x)\cdot f(\omega \cdot x) \stackrel {?}{=} 0

变成了

t(\omega \cdot \omega^{k-1}) - t(\omega^{k-1})\cdot f(\omega \cdot \omega^{k-1}) \stackrel {?}{=} 0

即

t(\omega^k) - t(\omega^{k-1})\cdot f(\omega^k) \stackrel {?}{=} 0

我认为根本不需要证明这一点，因为我们要证明的最后等式是t(\omega^{k-1}) = 1 --我们永远不需要超越\omega的x = k-2第四次幂(即x = \omega^{k-2})。

用x = \omega^{k-2}证明

t(\omega^{k-1}) - t(\omega^{k-2})\cdot f(\omega^{k-1}) = 0

&我们已经证明了\omega^{k-1} = 1

因此，不需要x = \omega^{k-1}。

那么，为什么Boneh非常特别地说(包括在x = \omega^{k-1}) )？

我遗漏了什么？

Answer 1

在x=\omega^{k-1}中，第二个方程是t(\omega^k) = t(\omega^{k-1}) \cdot f(\omega^k)，它知道\omega^k = 1和假设1是满足的，即t(\omega^{k-1})=1，它将转换为t(1) = f(1)，这是保证"Prod check Gadget“正确性的必要检查。否则，验证程序可以将t(1) = \tilde{t} \neq f(1)设置为\tilde{t} \in \mathbb{F}，并仍然满足x \in \Omega \backslash \{\omega^{k-1}\}的1和2(我将让您考虑一个特定的示例)，从而将验证器交给验证器。