里德-所罗门码能在像$\mathbb{Q}$这样的无限域上工作吗？

Question

我目前正在读有关RS码的文章。我看到他们使用Galois域(有限域)作为向量空间。除了简化二进制算法，例如在GF(2^8)中，每个字节都可以被看作是向量，还有其他特别的原因吗？它们能在像\mathbb{Q}这样的无限域上定义的向量空间中工作吗？提前谢谢你的时间。

PS:如果这里不是发布这个问题的合适地方，我事先很抱歉，但是我看到Math和Crypto StachExchanges都有coding-theory标签。

Answer 1

是的，它们可以工作，并且在某些信道噪声条件下，对于连续信道中的纠错编码是有用的。这个想法最初是由于韦尔奇教授(韦尔奇-伯莱坎普算法和韦尔奇界的名声)，他在上世纪80年代就有关于它的未发表的讲稿，从工程学的角度来看，\mathbb{C}是一个显而易见的应用领域，在这个领域，任何期望的顺序的统一的原根的存在问题，n都是微不足道的，就拿\omega=\exp\{2 \pi i/n\}.来说吧。

正如评论所指出的那样，这对于密码学并不是那么有用，因为统一分布的存在对于某些协议是至关重要的。当然，里德-所罗门码在其字段评估公式中与Shamir秘密共享密切相关，例如使用阈值t,，但在有限字段设置中，如果已知的信息少于t共享，则不会泄漏信息。