$f(x，y)=x^2 + y^2 +βx+x+ 2y$的最优点

Question

我是自我学习的基本优化理论和算法，从“优化导论”由Chong和Zak。我希望有人验证我对这个问题的解决方案，在找到两个变量函数的最小化/最大化，或任何提示/提示继续前进。

对于标量\beta的每个值，求出以下两个变量x和y f(x,y) = x^2 + y^2 + \beta xy + x + 2y的所有平稳点的集合，其中哪一个是局部极小值？哪一个是全局极小值，为什么？对于\beta的某些值，此函数是否具有全局最大值。

解决方案。

我们有：

\begin{align*} f(x,y) &= x^2 + y^2 + \beta xy + x +2y\\ f_x(x,y) &= 2x+\beta y + 1\\ f_y(x,y) &= \beta x + 2y + 2\\ f_{xx}(x,y) &= 2\\ f_{xy}(x,y) &= \beta \\ f_{yy}(x,y) &= 2 \end{align*}

根据最优性的一阶必要条件( for )，我们知道如果是\nabla f(\mathbf{x})=0，那么\mathbf{x}是一个临界点。

因此，

\begin{align*} f_x(x,y) &= 2x+\beta y + 1 = 0\\ f_y(x,y) &= \beta x + 2y + 2 = 0 \end{align*}

对于x和y，我们发现：

\begin{align*} x = \frac{\begin{array}{|cc|} -1 & \beta \\ -2 & 2 \end{array}}{\begin{array}{|cc|} 2 & \beta \\ \beta & 2 \end{array}}=\frac{-2+2\beta}{4-\beta^2}=\frac{2\beta-2}{4 -\beta^2} \end{align*}

\begin{align*} y = \frac{\begin{array}{|cc|} 2 & -1 \\ \beta & -2 \end{array}}{\begin{array}{|cc|} 2 & \beta \\ \beta & 2 \end{array}}=\frac{-4+\beta}{4-\beta^2}=\frac{\beta -4}{4 - \beta^2} \end{align*}

基于二次型Q(\mathbf{h})=\mathbf{h}^T \cdot Hf(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{h}的符号，给出了最优性的二阶充要条件。

f的Hessian是由，

Hf(\mathbf{x})=\begin{array}{|c c|} 2 & \beta \\ \beta & 2 \end{array}

因此，d_1 = 2 > 0和d_2 = 4 - \beta^2。因此，f有一个局部极小化当且仅当4 - \beta^2 > 0。g(\beta) = 4 - \beta^2是一个向下的抛物线。所以，这个表达式的值是正的当且仅当-2 < \beta < 2。函数f没有全局最大值。

有个问题。如何找到实际的全局极小值？

Answer 1

如果函数是凸的，则所有局部极小都是全局极小。

如果是4-\beta^2 >0，则函数是凸的，因此局部极小确实是全局极小。

如果是\beta = \pm 2，那么我们就有了f(x,y)=(x\pm y)^2+x+2y，f(x, \mp x)=x\mp2x可以使其任意大小。

如果4-\beta^2 < 0是不定式的，则不动点是鞍点。

它不可能是负定的，它没有全局最大值。