NTRU晶格的体积

Question

设K是度n和\Lambda^q_h=\{(f,g)\in\mathcal{O}_K\text{ : }fh-g = 0\bmod q\mathcal{O}_K\}的数字字段，其中h是NTRU公钥。然后\{(1,h),(0,q)\}生成一个格。我在文献中发现Vol(\Lambda^q_h) = Vol(\mathcal{O}_K)^2q^n (例如这里)，但是这个陈述的证据是如何运作的呢？或者我在哪里能找到证据？

Answer 1

这是数论中的标准计算。它背后的思想是，你写下的矩阵是格作为\mathcal{O}_K-module的基础，但是要找到体积，首先要为格找到\mathbb{Z}-basis，然后用它进行“标准”计算。如果B是\mathbb{Z}-basis of \mathcal{O}_K，那么您可以这样做：

B' = \begin{pmatrix}B & hB\\ 0 & qB\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & h\\ 0 & q\end{pmatrix}\otimes B

是格的\mathbb{Z}-basis。然后，您可以以“标准”的方式计算其体积，例如考虑决定因素，以得到以下结果：

\det B' = q^{\deg \mathcal{O}_K}(\det B)^2

这正是你所写的表达。

你可能会在许多(如果不是全部)代数数论教科书中找到这一点。例如，我相信这是米恩氏注记引理2.23的必然结果，但要验证这一点，还需要一些抽象概念。