如何选择标准中未发现的椭圆曲线参数(Hessian、Jacobi交、Jacobi四次等)？

Question

目前，我正在研究素数域上定义的不同形式的椭圆曲线。在许多曲线标准中，如NIST、Brainpool等，存在着Weierstrass、Montgomery和(扭曲) Edwards曲线的一系列曲线方程。

然而，我也想研究各种其他的曲线形式，如Hessian曲线，Doche-Icart曲线，Jacobi交叉口，Jacobi四次曲线等，但不幸的是，我没有找到任何这样的标准来选择这些曲线。我想知道是否有这样的论文/网站有详细的每个表格的一些曲线方程。对于这些形式，具有不同参数的曲线方程列表将是理想的。

Answer 1

Weierstrass模型可以转换为Hessian模型和Jacobi模型(在存在这种模型的情况下)，在此之前，Edwards曲线被考虑到基于实现和侧通道特性的ECC。

到Jacobi模型的转换似乎已经在马托佛流上讨论过了。

若要转换为Hessian，请计算j在\mathbb F_p中的不变量，然后求解

j=\frac{c^3(c^3+216)}{(c^9-81c^6+2187c^3-19683)}

对于c\in\mathbb F_p (如果相应的9次多项式在\mathbb F_p中有一个根)。你的曲线在出生时相当于

X^3+Y^3+Z^3=cXYZ.

椭圆和超椭圆曲线密码手册部分13.1.5.b展示了如果您想要找到Hessian上的特定点的图像，如何显式地计算二值映射。

因此，您可以采用一个标准的Weierstrass模型(例如，NIST P256，Curve25519)，如果您愿意的话，可能会将它转换成另一种形式。