重复替换密码中有多少种不同的密文？

Question

考虑一个26个字母的字母表。然后，替换密码有26!可能的密文(每个字母替换)。例如，5个字母单词上的重复替换如何？会产生多少个不同的密文？就像\sigma(a)=b, \sigma(b)=c, \sigma(c)=a，那么abc \rightarrow bca \rightarrow cab \rightarrow abc为|A|=3.But提供了两个密文，一般情况下呢？

Answer 1

您要问的是，要返回纯文本，您必须在纯文本上应用替换多少次。一种观察是，它将取决于取代的顺序作为一个元素的S_{26}，置换群上的26个元素。如果您的置换具有顺序n，则应用它的n次数与身份置换相同。对于给定的替换，不难确定其顺序。

你的问题有点不同。对于给定的明文，返回可能需要更少的迭代。您感兴趣的是置换对元素子集的操作，而不是对整个集合的操作。它将与排列下每一个明文字母的轨道有关。因此，对于一个纯文本"abcde"，它需要多长时间每一个a，b，c，d和e循环回来？答案是这些长度的LCM。特别要注意的是，对于明文"fghij“，答案可能完全不同。

Answer 2

n元素排列的最大可能循环长度由兰道函数给出。对于n=26，答案是1260