两个私钥之和的secp256k1公钥和原始两个私钥的公钥之间有关系吗？

Question

如果我有两个secp256k1私钥并将它们相加在一起，那么，如果我只知道两个原始私钥的公钥，是否可以导出和的公钥？

(我认为这可能是理解bip32的核心。)

Answer 1

如果我有两个secp256k1私钥并将它们相加在一起，那么，如果我只知道两个原始私钥的公钥，是否可以导出和的公钥？

是。

虽然“公钥”和“私钥”的概念取决于密码体制(而不是它使用的椭圆曲线)，但大多数基于ECC的密码系统(包括比特币中使用的密码系统)都有一个私钥，它是一个秘密整数a，公钥是椭圆曲线点[a]G，其中G是一个众所周知的椭圆曲线点(这是曲线定义的一部分)，而[a]G是使用‘点乘’计算的。

因此，您的问题归结为“如果我们知道两个公钥[a]G和[b]G (私钥a和b)，我可以导出公钥[a+b]G，它是私钥之和的公钥吗？”

答案是肯定的，因为这种身份总是：

[a+b]G = [a]G + [b]G

左边的加法是整数加法，右边的加法是点加法。当我们可以得到私钥之和的公钥时，右侧就很容易计算了。

Answer 2

以下是在Rust中的一个非常粗略的实现：

use rand::Rng;
use secp256k1::{Secp256k1, SecretKey, PublicKey};

fn main() {
    let secp = Secp256k1::new();

    let seed_a = rand::thread_rng().gen::<[u8; 32]>();
    let mut skey_a = SecretKey::from_slice(&seed_a).expect("32 bytes, within curve order");
    let pkey_a = PublicKey::from_secret_key(&secp, &skey_a);

    println!("skey_a {:?}", skey_a);
    println!("pkey_a {:?}", pkey_a);

    let seed_b = rand::thread_rng().gen::<[u8; 32]>();
    let skey_b = SecretKey::from_slice(&seed_b).expect("32 bytes, within curve order");
    let pkey_b = PublicKey::from_secret_key(&secp, &skey_b);

    println!("skey_b {:?}", skey_b);
    println!("pkey_b {:?}", pkey_b);

    skey_a.add_assign(&seed_b).unwrap(); // there is no plain add, nor an obvious way to get the bytes out of an skey
    let skey_sum = skey_a;
    let pkey_sum_from_skeys = PublicKey::from_secret_key(&secp, &skey_sum);

    println!("skey_sum {:?}", skey_sum);
    println!("pkey_sum_from_skeys {:?}", pkey_sum_from_skeys);

    // calculate the sum of public keys without needing access to secret keys
    let pkey_sum_from_pkeys = pkey_a.combine(&pkey_b).unwrap();

    println!("pkey_sum_from_pkeys {:?}", pkey_sum_from_pkeys);
}

样本输出如下：

skey_a SecretKey(ce9b44fedaa9aa82ee394a488df5ac55bdd3bd62c8cae45bebc1c91174fac2c2)
pkey_a PublicKey(c2d220e65b1a612405f7b18aa503132b2f29b9ac993bdcfc65ac3dfec4192856ad5da30b482ccb42c63c809703bb3cfac3644a586c8635f3178462d53e351fdf)
skey_b SecretKey(a8bfd58be7c9e14c27f0e60a00c1320e79698c8747cfa0cca0a2180267efc9ca)
pkey_b PublicKey(de8df52ed48d2c3320c03344a3fe859d61015e5f8d45b0df9aaa8d056c784e7e55a61a53630ee016e0bc8ac21d6ae4cd92e0ef91e74281d9410167b982764a8e)
skey_sum SecretKey(775b1a8ac2738bcf162a30528eb6de657c8e6d036151e4eccc9182870cb44b4b)
pkey_sum_from_skeys PublicKey(f91cf9ee526dab8a955709385c6ae5a7f757cf82278af1d670ab6b33f2f28d8716cbddf253047fa9ff6b152a6a1986213482d9ff6fdfc3883e481d7133d0045e)
pkey_sum_from_pkeys PublicKey(f91cf9ee526dab8a955709385c6ae5a7f757cf82278af1d670ab6b33f2f28d8716cbddf253047fa9ff6b152a6a1986213482d9ff6fdfc3883e481d7133d0045e)