引理1 Paillier加密的证明

Question

在佩利尔的原始论文中，引理1说明了为什么n必须划分g的顺序。在这个引理的证明中，我不理解的是为什么g^{x_2-x_1}(y_2/y_1)^n意味着g^{\lambda(x_2-x_1)}。这个结果从何而来？

Answer 1

这是通过将\lambda=\lambda(n)提高到:由于\mathbb{Z}_{n^2}中的任何元素的顺序划分了n\cdot\lambda，所以第二部分取消：

\begin{align} g^{x_1-x_2}\cdot(y_2/y_1)^n=1\bmod{n^2} &\Leftrightarrow\\ g^{(x_1-x_2)\cdot\lambda}\cdot(y_2/y_1)^{n\cdot\lambda}=1\bmod{n^2}&\Leftrightarrow\\ g^{(x_1-x_2)\cdot\lambda}\cdot 1=1\bmod{n^2}&\Leftrightarrow\\ g^{(x_1-x_2)\cdot\lambda}=1\bmod{n^2} \end{align}