椭圆曲线族

Question

我读到了关于椭圆曲线的本论文，我看到了这样的图形：

这篇论文是非常新的(2018年11月)，我想知道这些是否都是已知的ecc家族。关键是，我没有看到Weierstra有人能给我解释一下，为什么韦尔斯特拉-曲线不包括在内？是否还有其他曲线--不包括在内的家庭。如果是真的，哪个？

Answer 1

对于基于椭圆曲线的协议，假设在已知的基点上找出随机椭圆曲线元素的离散对数是不可行的:这就是“椭圆曲线离散对数问题”(ECDLP)。椭圆曲线密码的安全性取决于计算点乘的能力和计算给定的原点和乘积点的乘法能力。椭圆曲线的大小决定了问题的难度。

我们可以形式化地定义椭圆曲线(在域k上)是1的光滑射影曲线(定义在k上)，它具有一个可区分的(k-有理)点。然而，亏格1的每条光滑射影曲线并非都对应于椭圆曲线，它至少需要有一个有理点。椭圆曲线的定义还要求曲线是非奇异的.在几何上，这意味着图没有尖点、自交点或孤立点.

椭圆曲线的数目是无限的，但在椭圆曲线密码学(ECC)中使用的却很少，这些特殊的曲线都有名字。显然，没有硬性和快速的规则如何选择名称，但有模式。IETF最近发布了一份关于备用椭圆曲线表示列表的报告。您可以在这里参考IETF报告。下面是一些参考椭圆曲线族。图中少了几个。

1. 短Weierstrass曲线
2. 蒙哥马利曲线
3. 扭曲爱德华兹曲线
4. 超曲面爱德华兹曲线
5. 恒河曲线
6. 扭曲Hessian曲线
7. Jacobi四次曲线
8. 双倍方向Doche-Icart曲线

椭圆曲线最初是用Weierstrass形式写成的。爱德华兹椭圆曲线有其自身的优点:在爱德华兹曲线上加法、倍并和三次采样的速度要快于Weierstrass方程给出的曲线。这是因为Edwards曲线上的加法律没有例外，而Weierstrass曲线上的加法则区分了几种特殊情况。建议在椭圆曲线密码学中应用Montgomery曲线，因为该曲线表示算法比标准Weierstrass格式的算法速度快，内存少。

请在密码学中使用的一些著名椭圆曲线的名字上找到一个有洞察力的文章。