分式数指数函数

Question

在坚实的情况下，我们不能直接计算0.1或0.001。我们通常使用十进制乘数和除数整数来计算如下数字：

0.01 = 1 / 100

当数字大于1时，比较容易，因为我们只是重复乘法：

function(uint base, uint exponent) external {
    for (uint256 i = 1; i < exponent; i++) 
        uint256 z = base;
        z = z * base; 
    }

或者只是：

z ** exponent

然而，当我们想使用分数阶数作为指数时，这些函数就不能工作了。有人能想出一个好办法吗？

Answer 1

二元分数

我目前只知道一种解决方案，由米哈伊尔符拉迪米罗夫编写。它以二进制分数的形式计算输入。

码

ABDKMath64x64.sol有一个exp_2函数，如下所示：

function exp_2(int128 x) internal pure returns (int128) {
    unchecked {
        require(x < 0x400000000000000000); // Overflow

        if (x < -0x400000000000000000) return 0; // Underflow

        uint256 result = 0x80000000000000000000000000000000;

        // REMOVED: Binary fraction logic, explained below...

        result >>= uint256(int256(63 - (x >> 64)));
        require(result <= uint256(int256(MAX_64x64)));

        return int128(int256(result));
    }
}

为了简洁起见，我跳过了函数体的一大部分。

解释

任何小数都可以写成整数部分和分数部分的之和：

x = n + f, 0 <= f < 1

然后，使用x作为指数：

y = 2^x = 2^(n + f) = 2^n * 2^f;

注意到我们可以将f写成一个二元分数：

f = f1 * 2^-1 + f2 * 2^-2 + ...

其中f_i可以是0或1。然后：

y = 2^n * (2^(f1*2^-1) * 2^(f2*2^-2) ...)

请注意：

for f_i = 0 => 2^(f_i * 2^-i) = 1
for f_i = 1 => 2^(f_i * 2^-i) = root(2, 2^i)

因此，我们预先计算了这些root(2, 2^-i)魔术因子，并使用它们作为硬编码常量。i表示位在小数二进制表示中的位置。如果我们要匹配第一位，我们将乘以2的平方根，即~1.4142。

任意基

根据基本对数规则：

x = b^(log_b(x))

我们可以推断：

x^y = b^(y*log_b(x))

适用于基地2：

x^y = 2^(y*log_2(x))

我们已经为exp_2提供了一个实现，日志_2也由ABDKMath64x64提供。

权衡

我不喜欢米哈伊尔的解决方案：

1. 要求用户使用二进制数字。
2. 精度仅限于int128，不适用于int256或其附近

Answer 2

保罗的回答很好。如果你想逼近指数函数，我用了一系列的线性函数，目标半衰期：

function getPrice(uint256 value, uint256 t, uint256 halfLife) public pure returns (uint256 price) {
    price = value >> (t / halfLife);
    price -= price * (t % halfLife) / halfLife / 2;
}

在我的代码中，半衰期是两天内的秒数。