在所有椭圆曲线上都存在Weil，Tate和Ate配对吗？

Question

我对椭圆曲线背后的数学不太了解。在所有椭圆曲线上都存在威尔，Tate和Ate配对吗？如果答案是否定的，那么MNT，BN和SS曲线有哪些配对？

当我们说椭圆曲线有一个嵌入度 of k时，所有这些配对是否都将E(GF(p))映射到GF(p^k)？此外，当我们谈到嵌入度时，我们是否假设了一个特定的配对？

威尔、泰特和艾特哪一种配对更有效？这些配对之间有什么安全上的权衡吗？

Answer 1

是。事实上，你可以用泰特配对来写威尔和艾特配对。

设E是嵌入度k和素数阶r的\mathbb{F}_p上的一条曲线。威尔配对与泰特配对相关，如

e(P,Q)^\frac{p^k - 1}{r} = \frac{t(P, Q)}{t(Q, P)}\,,

其中t(\cdot,\cdot)是泰特配对。同样，我们

a(Q, P)^{kp^{k-1} } = t(P, Q)^\frac{((t-1)^k - 1)}{r}\,,

其中a是Ate配对，t是Frobenius的踪迹，即t = p + 1 - \#E。

因此，对于所有常见的配对友好曲线，所有这些配对都存在，并且定义得很好。最优吃配对是最常见的，因为它涉及最短的Miller循环，而且通常是最快的。但情况并不一定如此，这取决于字段大小、可用的并行性等。