有限域GF($2^3$)和GF($2^4$)的反函数是什么？

Question

我目前正在读一份报纸解大APN问题唯一已知解的一个定理的密码分析。在本文中，他们使用了I，它是有限域GF(2^3)与不可约多项式x^3 + x + 1的逆。这个逆对应于单项x \mapsto x^6。有人能告诉我这个有限域的反函数是如何定义的吗？我知道有限域中存在着元素的乘积逆。这两个是一回事吗？

如何导出有限域GF(2^4)的逆函数？

Answer 1

是的，我能看到的唯一明智的解释是，他们谈论的是乘性逆。

特别是，有限域的乘法群是循环的，包含字段的所有非零元素.这意味着它的顺序是字段的大小减去1，即2^3 - 1 = 7表示{\rm GF}(2^3)，因此表示a \in {\rm GF}(2^3)的a^6 \cdot a = a^7 = 1，这意味着a^6是a的乘法逆。

同样，{\rm GF}(2^4)的乘法组具有2^4 - 1 = 15元素，因此任何非零元素a \in {\rm GF}(2^4)的乘法逆都可以计算为2^{14}。更普遍地说，在任何伽罗瓦域{\rm GF}(p^n)中，a的乘积逆等于a^{p^n-2}。

这里也许值得说明的一点是，上面的a^6是指使用字段乘法规则将场元素a提高到六次方的--它本身就是可以表示为多项式乘法，然后是一个不可约的单次多项式，如果{\rm GF}(2^3)本身的元素表示为阶小于3的{\rm GF}(2)上的多项式。

这可能令人困惑的原因是，在这种表示中，像"x“和"x^6”这样的表达式本身可以表示特定的字段元素，这些元素被写成单个变量x的多项式。(当然，x^6不能作为{\rm GF}(2^3)任何元素的标准多项式表示，因为它的阶数太高了。)在使用这种表示法的地方，就像在您的问题中一样，避免将符号x用于任何其他目的，除了作为表示字段元素的多项式中的形式变量外，这通常是个好主意。特别是，它不应用于指定任意字段元素(当然，对于由一阶单项x规范表示的特定字段元素除外)。