有限域乘法是分布的吗？AES中的运动仿射变换

Question

在AES中，SubBytes步骤的输出等于：

a_{0-15} = d*c_{0-15}^{-1}+b

其中d是常数8x8矩阵，b是GF(2)中的常数8x1矩阵。反演是在GF(2^8)中进行的。

在ShiftRows之后，每个MixColumns的输出列可以用四个select a值表示。

m_0 = 2a_0+ 3a_1 + a_2 + a_3

m_1 = a_0 + 2a_1 + 3a_2 + a_3

m_2 = a_0 + a_1 + 2a_2 + 3a_3

m_3 = 3a_0 + a_1 + a_2 + 2*a_3

是否有任何理由不能以m_0为例并将其写为：

\begin{align*} m_0 =& 2(da_0+b) + 3(da_1+b) + (da_2+b) + (da_3+b)\\ =& 2da_0+2b + 3da_1+3b + da_2+b + da_3+b\\ =& d(2a_0+3a_1+a_2+a_3)+b\\ \end{align*}

这将是MixColumns操作，然后是仿射变换。

Answer 1

从上面的问题m = da_0

在双边投资条约一级：

m\oplus b = [m_7 \oplus b_7 , m_6 \oplus b_6 , m_5 \oplus b_5 , .... , m_0 \oplus b_0 ]

\begin{align*} 2(m\oplus b) =& \operatorname{xtime}(2(m\oplus b)) = \\ =& [m_6 \oplus b_6 , m_5\oplus b_5 , m_4\oplus b_4, m_3\oplus b_3 \oplus (m_7\oplus b_7), m_2\oplus b_2 \oplus (m_7\oplus b_7) ,\\& m_1\oplus b_1,m_0 \oplus b_0 \oplus (m_7\oplus b_7),m_7\oplus b_7]\\ \end{align*}

其中02的乘法表示为\operatorname{xtime}(x)。

\begin{align*} 2m =\;& [m_6 ,m_5,m_4,m_3\oplus m_7,m_2\oplus m_7,m_1,m_0\oplus m_7,m_7]\\ 2b =\;& [b_6 ,b_5,b_4,b_3\oplus b_7,b_2\oplus b_7,b_1,b_0\oplus m_7,m_7]\\ \end{align*}

因此：

2m\oplus 2b = 2(m\oplus b)

因为它们在位级产生相同的公式。你可以看到一个类似的结果乘法3。

但是，这个问题还假设可以将2da_0 \oplus 3da_1 \oplus da_2 \oplus da_3转换为d(2a_0\oplus 3da_1 \oplus da_2 \oplus da_3) --这是不可能的，因为这需要将原始数据写入d2a_0 \oplus d3a_1 \oplus da_2 \oplus da_3，但矩阵乘法不是可交换的。