术语:聚类上下文中的“平面几何”

Question

斯克洛的文件引用集群的“平面”或“非平坦”几何来描述它们实现的聚类算法的用例。这些术语没有直接定义。然而，以下引文指出：

当非平坦几何聚类具有特定形状时，即非平坦流形，且标准欧氏距离不是正确的度量时，非平坦几何聚类是有用的。

到目前为止，我确实了解到，多个类型的形状很难由集群中心来表示，聚类这样的数据集应该依赖于本地密度、最近的邻居或连接约束。然而，根据维基百科的定义，我不明白它与平面度的概念有什么关系：

在几何学中，平坦是欧氏空间的子集，它与下维欧几里德空间是一致的。

这在我看来是自相矛盾的。例如，超球面不是几何上的平坦，而是用sklearn的术语表示的平面。

我的问题是：

• 在机器学习和统计中，平面几何学和非平坦几何是一个合法的术语吗？
• 如果是，数学定义是什么？
• 若否，最合适的选择是甚麽？(例如流形与凸？)

Answer 1

在机器学习和统计中，平面几何学和非平坦几何是一个合法的术语吗？

这些都是数学术语，在任何领域都是有效的。

数学的定义是什么？

(非)平坦流形

在数学中，如果(黎曼) 流形的曲率处处为零，则称其为平的；否则为非平坦的。这与几何学中的平面物体几何学中的平面物体的定义非常不同。根据该定义，只有点、线和超平面是平坦的(例如，超球面或段)。

例如，集\left\{(t,t):t\in(-1,1)\right\}是{\Bbb R}^2中的一维平坦流形，集\left\{(t,t^2):t\in(-1,1)\right\}是{\Bbb R}^2中的一维非平坦(正弯曲)流形，超球面是{\Bbb R}^{n+1}中的nD非平坦(正弯曲)流形。

相应地，具有(非)平面形状的簇对应于(非)平坦流形。

以下是文档中的一些示例。

点集中在(A)两个非凸的一维非平坦流形(圆)，(B)两个非凸的一维非平坦流形(弧)，(C)三个凸的一维平面流形(段)，(D)三个凸的0D平面流形(中心为点)。

(非)平坦几何与平坦

“平坦几何学”指的是"欧几里德几何“而不是"几何中定义的平面对象几何中定义的平面对象”，如果我们通过欧几里德距离测量距离(因此是长度、面积、体积等)，我们就遵循欧几里德几何，否则，我们就遵循非欧几里德几何。例如，如果我们按照非平坦流形(测地线)测量两点之间的距离，我们就是服从非欧几里德几何。作为一个例子，

在(A)中，红线测量服从平面几何的距离，蓝线测量服从非平坦几何学的距离(沿着非平坦流形移动)。如果一个适当的流形映射到一个较低的维数是可能的(B)，服从一个平面几何学将等同于服从非平坦几何在映射之前。