拉普拉斯机构证明:为什么这个产品运营商？

Question

下面的方程显示了Laplace机制用于微分隐私的证明。我不理解产品经营者，这是一条共同的规则吗？

\frac{p_x(z)}{p_y(z)} = \prod_{i=1}^{k}\left(\frac{exp(-\frac{\varepsilon |f(x)_i - z_i|}{\Delta})}{exp(-\frac{\varepsilon |f(y)_i - z_i|}{\Delta})}\right)

p_x和p_y分别表示\mathcal{M}_L(x,f,\varepsilon)和\mathcal{M}_L(y,f,\varepsilon)机制的pdf。需要注意的是，x和y是相邻的数据集。x, y, z \in \mathbb{R}^k

提前谢谢你。

Answer 1

拉普拉斯机制的定义：

\mathcal{M}_L(x, f(\cdot), \varepsilon) = f(x) + (Y_1,\ldots,Y_k)

一旦每一个Y_i \sim Lap(\Delta f/\varepsilon)，它们都是彼此的索引。因此，我们可以用边际乘积来计算它们的联合概率。

正如我们所知，p_x = \mathcal{M}_L(x,f,\varepsilon)和z \in \mathbb{R}^k可以这样做：

p_x(z) = \frac{\varepsilon}{2\Delta f} exp\left(-\frac{\varepsilon |f(x) - z|}{\Delta f}\right) = \prod_{i=1}^k \frac{\varepsilon}{2\Delta f} exp\left(-\frac{\varepsilon |f(x)_i - z_i|}{\Delta f}\right)

我想这就是答案。