PBRT中立体角与球角分布的转换

Question

在PBRT的蒙特卡罗一章中，在分布之间的转换一节中，他们说“因此可以导出相对于\theta和\phi的密度”，但是他们从

\begin{align} p(\theta, \phi) \ d\theta \ d\phi = p(\omega) \ d\omega \end{align}

我的问题是，怎样才能看出这是真的呢？我知道，如果你同意，那么用d\omega = \sin \theta \ d\theta \ d\phi代替它会给出如下的结果，但是我甚至不知道如何读到这条起跑线，比如它是说“关于\theta和\phi times d\theta times d\phi定义的函数等于定义了关于\omega times d\omega的函数”吗？

不管怎么说，看起来应该是

\begin{align} p(\omega) \ d\omega = p(\theta, \phi) \sin \theta \ d\theta \ d\phi \end{align}

根据5.5条？(用\theta和\phi表示函数，并使用d\omega = \sin \theta \ d\theta \ d\phi。)

Answer 1

正如注释中提到的那样，这里有一件令人困惑的事情是，两个不同的函数被称为p。类似于C++中的函数重载，p(\omega)和p(\theta, \phi)是两个不同的函数，它们具有不同的域和对它们的输入的不同依赖，尽管在某种意义上它们抽象地表示相同的分布。

另一件让人困惑的事情是，这些函数返回的值不仅仅是数字。由于这些是概率密度函数，所以它们的值带有反面积的单位。此外，这两个函数表示不同区域的密度：p(\omega)是单位球面上的每个区域的概率，而p(\theta, \phi)是\theta-\phi平面上的单位面积的概率--由\theta和\phi作为笛卡尔坐标(就像x-y平面)形成的抽象2D平面。这些面积度量是相互关联的，但并不相同:正如您所观察到的，d\omega = \sin \theta \, d\theta \, d\phi。

像d\omega和d\theta \, d\phi这样的表示法是指这些面积度量。正如注释中提到的，这可以被数学地形式化为微分形式(下面是一个介绍，我发现它很有用)。

因为p(\omega)是单位球面上的每个区域的概率密度，如果d\omega是在点\omega周围的单位球面上的一个“小”区域，那么p(\omega) \, d\omega计算出的是一个概率--不是密度，而是一个普通的老概率数。在d\omega是无穷小的极限下，p(\omega) \, d\omega是d\omega区域内包含的概率量。

类似地，p(\theta, \phi) \, d\theta \, d\phi是包含在\theta-\phi平面的“小”区域内的概率量。声明

p(\omega) \, d\omega = p(\theta, \phi) \, d\theta \, d\phi

它的意思是:单位球面小面积内的概率量等于\theta-\phi平面上相应的小区域内的概率量。换句话说，概率是通过这两个区域之间的映射来守恒的。这是使这两个函数抽象地表示“相同”分布的条件，尽管使用了不同的变量进行了参数化。

条件需要这样写，因为概率密度不是无单位数。如果我们有一个函数，它的值只是普通数字，没有附加单元，我们想用不同的变量重新参数化它，条件是f(\omega) = f(\theta, \phi)：当我们改变变量时，函数应该将相同的值保持在“同一”点。但是在概率密度下，我们不想要相同的函数值，我们希望在区域的每个部分都有相同的概率。

利用这个“概率守恒”条件p(\omega) \, d\omega = p(\theta, \phi) \, d\theta \, d\phi，再加上两个面积测度d\omega = \sin \theta \, d\theta \, d\phi之间的关系，我们可以导出：

p(\theta, \phi) = p(\omega) \, \sin \theta

这表明，要用\theta, \phi来表示球面分布，不仅要改变变量，还要用\sin \theta乘以函数来保持概率。这个\sin \theta因子被称为“逆Jacobian"，它解释了转换是如何在域的不同部分扩展区域的。