如何计算PBRT V3中的光束透过率？

Question

在pbrt v3中，这本书给出了光束透过率的描述，但是我不知道如何像它所说的那样求解微分方程来得到Tr，有人能告诉我如何求解这个微分方程吗？非常感谢。

Answer 1

它是从它的微分方程中通过分离变量得到指数函数的标准推导的一个版本。

来回顾这个标准的推导:假设我们想要一个函数y(x)服从微分方程\mathrm{d}y/\mathrm{d}x = -ky，对于一些常数k。然后，我们可以按以下方式求解这个方程：

\begin{aligned} \mathrm{d}y &= -ky \, \mathrm{d}x \\ \frac{\mathrm{d}y}{y} &= -k \, \mathrm{d}x \\ \int \frac{\mathrm{d}y}{y} &= -\int k \, \mathrm{d}x \\ \ln y &= -kx \\ y &= e^{-kx} \end{aligned}

(实际上应该有一些积分常量，但我忽略了它们，因为它们对这个答案并不重要。)

现在，假设我们将常量k概括成一个函数k(x)。然后我们可以重复这个推导，但是我们不能在右边进行积分，因为k(x)是未指定的。结果将是：

y = e^{-\int k(x) \, \mathrm{d}x}

光线的透射率的推导是一样的，但是有一些变量被重命名为：y变成L，x现在是沿着射线的参数t，k(x)被称为\sigma_\mathrm{t}(\mathrm{p})。