基于重要性抽样的BRDF集成

Question

我读了一些关于BRDF集成的文章，不管有没有重要的抽样，我都不理解公式中的一件事。

• 如果我们用均匀的样本方向分布积分半球上的BRDF，则在所有生成的方向上对BRDF进行求值，并将所有值和，除以n(样本数)，然后将结果乘以2π，因为我们需要将结果乘以积分区域，而2π是半球的立体角。
• 如果我们用重要抽样法对半球上的BRDF进行积分，就可以由倒置的CDF (累积分布函数)生成样本方向，用相应样本的概率分布函数( PDF )除以每一个样本，然后用和值除以N，即第2位π乘法。

我证实了它的数值积分库克-托兰斯BRDF和简单兰伯余弦BRDF，但我不明白为什么2π乘法消失时，我们使用重要性抽样时，从数学角度？

下面是用余弦函数积分的例子。在重要意义上，采样余弦函数也被用作自己的PDF。另外，我对这两种情况的集成代码正确吗？

float f(Vec3f sampleDir) { return sampleDir.z; }
float pdf(Vec3f sampleDir) { return sampleDir.z; } // cosine function is also its PDF

void uniformIntegrationCos()
{
    double sum = 0.0;
    const int N = 1000;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        Vec3f sampleDir = randomHemisphere(i, N); // fibonacci hemisphere spiral

        float value = f(sampleDir);
        float weight = sampleDir.z; // NdotL == pdf(sample)
        sum += value * weight / PI / N; // divide by PI to normalize cosine-weighted PDF

    }
    const float HEMISPHERE_SOLID_ANGLE = 2.f * PI; // integration area
    sum *= HEMISPHERE_SOLID_ANGLE;

    std::cout << "Sum = " << sum << std::endl;
}

void importanceIntegrationCos()
{
    double sum = 0.0;
    const int N = 1000;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        // generate sample direction using inversed CDF of cosine BRDF
        Vec2f r = randomHammersley(i, N);
        float phi = 2.f * PI * r.x;
        float sinTheta = sqrt(r.y);
        float cosTheta = sqrtf(1.f - sinTheta * sinTheta);

        Vec3f sampleDir;
        sampleDir.x = cos(phi) * sinTheta;
        sampleDir.y = sin(phi) * sinTheta;
        sampleDir.z = cosTheta;

        float value = f(sampleDir);
        sum += value / N; // BRDF is divided by it's PDF, so no NdotL weight and no PDF normalization by dividing by PI
    }

    //const float HEMISPHERE_SOLID_ANGLE = 2.f * PI; // integration area
    //sum *= HEMISPHERE_SOLID_ANGLE; // Not needed, why ???

    std::cout << "Sum = " << sum << std::endl;
}

void main()
{
    uniformIntegrationCos();
    importanceIntegrationCos();
}

Answer 1

想一想:当在半球上均匀地整合时，你就好像是重要的--用一个恒定的1/2\pi的pdf进行抽样。

那么，2\pi在结尾处的乘法可以看作是pdf的除法，从和中扣除，因为它是常数。

常量pdf是1/2\pi (相对于其他一些数字)，因为它需要标准化才能在半球上整合到1，这是因为半球的面积是2\pi。

从我所看到的情况来看，您的代码看起来是合理的，但我将定义函数pdf，以包含余弦pdf的1/\pi归一化因子：

float cosinePDF(Vec3f sampleDir) { return sampleDir.z / PI; }