圆柱形本原的UV偏导数

Question

我是新的渲染和我想计算UV偏导数的圆柱形，这是参数化的半径R和长度L。

使用柱面坐标映射，对于表面点\mathbf{p}=(x,y,z)，UV地图(归一化为[0,1])是：

(u,v) = \Big(\frac{\phi}{2\pi}, \frac{z}{L}\Big)\qquad \text{where} \quad \phi = \arctan \frac{y}{x}

然后计算有关\mathbf{p}的导数，即：

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial \mathbf{p}} & = \frac{1}{2\pi R^2} \Big( -y, x, 0\Big) = \frac{1}{2\pi R} \Big( -\sin\phi, \cos\phi, 0\Big)\\ \frac{\partial v}{\partial \mathbf{p}} &= \Big( 0, 0, \frac{1}{L}\Big) \end{aligned}

或相当于：

\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u} & = 2\pi R \Big( -\frac{1}{\sin\phi}, \frac{1}{\cos\phi}, 0\Big)\\ \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v} &= \Big( 0, 0, L\Big) \end{aligned}

到现在为止一切看起来都很好。

问题

在pbrt-3中，cylinder.cpp的相关部分是：(i) UV与上面相同；(ii) \partial \mathbf{p}/\partial u是不同的：

Float u = phi / phiMax;
Float v = (pHit.z - zMin) / (zMax - zMin);

// Compute cylinder \dpdu#qcStackCode# and \dpdv#qcStackCode#
Vector3f dpdu(-phiMax * pHit.y, phiMax * pHit.x, 0);
Vector3f dpdv(0, 0, zMax - zMin);

我在这里错过了什么？

Answer 1

我认为，通过编写从(u,v)到\mathbf{p}的前向映射，获得切线框架是最简单的：

  `\mathbf{p}(u,v) = \begin{bmatrix} R \, \cos (2\pi u) \\ R \, \sin (2\pi u) \\ vL \end{bmatrix} #qcStackCode#`

然后你可以看到衍生产品是：

  `\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial u} = \begin{bmatrix} -2\pi R \, \sin(2\pi u) \\ 2\pi R \, \cos(2\pi u) \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\pi y \\ 2\pi x \\ 0\end{bmatrix}, \qquad     \frac{\partial\mathbf{p}}{\partial v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ L \end{bmatrix} #qcStackCode#`

与pbrt代码匹配。

我认为您的推导是错误的，因为假设\partial\mathbf{p}/\partial u是\partial u / \partial{\mathbf{p}}的组件倒数。这并不简单，因为后一个对象实际上是u的梯度，其中u现在被认为是定义在所有空间(不仅仅是圆柱上)的标量场。为了正确地反演这一点，我们确实需要在u平面上另一个垂直于xy的坐标，这样我们就有了一个局部可逆映射，然后我们就可以得到它的雅可比矩阵并反演它。我们可以使用半径R作为这样的坐标。然后我们得到了逆映射，

\begin{aligned} u(x,y) &= \frac{1}{2\pi} \arctan(y,x) \\ R(x,y) &= \sqrt{x^2 + y^2} \end{aligned}

他的雅可比是：

  `\frac{\partial(u,R)}{\partial(x,y)} =     \begin{bmatrix}         \tfrac{\partial u}{\partial x} & \tfrac{\partial u}{\partial y} \\         \tfrac{\partial R}{\partial x} & \tfrac{\partial R}{\partial y}     \end{bmatrix} =     \begin{bmatrix}         -y/(2\pi R^2) & x/(2\pi R^2) \\         x/R & y/R     \end{bmatrix} #qcStackCode#`

与此相反的是：

  `\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,R)} =     -2\pi R \begin{bmatrix}         y/R & -x/(2\pi R^2) \\         -x/R & -y/(2\pi R^2)     \end{bmatrix} =     \begin{bmatrix}         -2\pi y & x/R \\         2\pi x & y/R     \end{bmatrix} #qcStackCode#`

然后，您可以从其中读取\partial{(x,y)}/\partial u作为第一列，这与上面为\partial\mathbf{p}/\partial u获得的结果相匹配。