有没有办法只使用整数来计算Mandelbrot集？

Question

我想在JavaScript (JS)中创建程序，它可以任意精确地绘制曼德尔布罗特集 (缩放)。在JS中有一个整数类型的BigInt，它支持像+，*，/这样的简单操作，支持任意精确整数的幂。JS不支持对任意精度浮点数的计算。

问:是否有一种方法来执行Mandelbrot集的计算，只使用基于整数的计算(任意精度)--如果是，如何做？

Answer 1

使用全精度整数获得任意精度Mandelbrot集的最简单方法可能是将两个整数组合成一个有理数p/q。这些数字是通过查找公共分母来添加的：

\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq + np}{nq}

乘以相应的分子和分母：

\frac{m}{n} * \frac{p}{q} = \frac{mp}{nq}

然后，用有理坐标表示一个单点\vec{p}

\vec{p} = \left( \frac{n_x}{d_x} , \frac{n_y}{d_y} \right)

而这个点的迭代将继续进行

\begin{eqnarray*} \vec{z} &\rightarrow& \vec{z}^2 + \vec{p} \\ \left( \frac{a_x}{b_x} , \frac{a_y}{b_y} \right) &\rightarrow& \left( \frac{a_x^2}{b_x^2} - \frac{a_y^2}{b_y^2} , \frac{2 a_x a_y}{b_x b_y} \right) + \left( \frac{n_x}{d_x} , \frac{n_y}{d_y} \right)\\ &=& \left( \frac{a_x^2 b_y^2 - a_y^2 b_x^2}{b_x^2 b_y^2} + \frac{n_x}{d_x} , \frac{2 a_x a_y}{b_x b_y} + \frac{n_y}{d_y} \right) \\ &=& \left( \frac{(a_x^2 b_y^2 - a_y^2 b_x^2)d_x + n_x b_x^2 b_y^2} {b_x^2 b_y^2 d_x}, \frac{2 a_x a_y d_y + b_x b_y n_y}{b_x b_y d_y} \right). \end{eqnarray*}

这可能很简单，但我不能说它会很快；在Mandelbrot集的边界附近，迭代中的分子和分母很快就会变大，即使你用最大公分母除以理性主义。