Stecklov算子与Laplacian算子

Question

在siggraph发表的一篇论文吸引了我的注意：Steklov谱几何。

我不是几何处理方面的专家，但我正在尽可能多地学习。你可以很容易地读到导言：

本文通过对内禀Laplace-Beltrami算子的一种外在选择，给出了一种实用的、数学上合理的外科学几何几何方法。

我读过报纸，对像我一样喜欢信号处理的人来说，是一个非常好的读物。我的理解是，他们提出了经典的laplace beltrami算子的另一种选择：

\Delta_{\mathcal{S}} \psi(x) = 0

提议的运算符是

\left\{ \begin{array}{ll} \Delta \psi(x) = 0 & x \in \Omega \\ \nabla_n \psi(x) = \lambda \psi(x) & x \in \Gamma \end{array} \right.

这就是"Steklov特征问题“。系统的第一行又是拉普拉斯方程(但体积)，第二线是法向导数的一个条件。

我不明白的是，为什么前一个算子代表一个“本质”算子，而后者代表一个外部算子。

Answer 1

我不完全确定，但我想这可能与内曲率与外曲率的概念有关。我认为，流形上的Laplace-Beltrami算子是内在的，它可以从流形本身的“内部”几何学来构造，而不依赖于环境空间中的任何嵌入。另一方面，Steklov操作符看起来是用嵌入的形式显式地写出来的，所以在这个意义上是外在的。