微面BRDF (包括ggx)能代表完美的镜子吗？

Question

完美镜的画法很简单，

F\frac{\delta(\omega_i-\omega_r)}{|\cos(\theta_r)|}

如在http://www.pbr-book.org/3ed-2018/Reflection_模型/光谱_反射_和_Transmission.html

正如几篇文章所示，微面片的粗糙度可以定义为零，那么它们就应该能够代表一个完美的镜子。但我不能把它们导出到正确的、完美的地方。

例如，当我将零粗糙度放入GGX模型时，(https://www.graphics.cornell.edu/~bjw/microfacetbsdf.pdf )

D(m) = D(H)除以0，G仅为1。不过，我得到的是，

F\frac{DG}{4|N\cdot V||N\cdot L|}

绘制方程是，

\int F\frac{D(H)G(L,V, H)}{4|N\cdot V||N\cdot L|} \cos\theta_id\omega_i = \int F\frac{D(H)G(L,V, H)}{4|N\cdot V|} d\omega_i

如果这是正确的，\frac{D(H)G(L,V,H)}{4|N\cdot V|}应该是一个狄拉克δ函数。但我不这么认为。

我哪里错了？我怎样才能从微面片中得到完美的镜子呢？

更新

我的结论是，库克-托伦斯的画笔不能代表一个完美的镜子。当H，\neq，N，即使粗糙度为零时，方程有一些小值大于零。因此，不应删除归一化因子4|N\cdot V|。

如果我错了就纠正我。

Answer 1

如果这是正确的，\frac{D(H)G(L,V,H)}{4|N⋅V|}应该是一个狄拉克δ函数。但我不这么认为。

实际上，你已经接近了你的答案--你只是想找出最初假设是什么--如果你说的是镜面BRDF。术语F\frac{DG}{4|N⋅V||N⋅L|}只起作用，如果你从前提条件开始，你处理的是一个完美的镜子，否则这将是一个积分本身。看看小厄尔·哈蒙( explains .)的GGX+SmithMicrosurfaces漫射照明，这里解释了如何到达镜面的BRDF。特别是看一看幻灯片29：

• Microfacet是一个完美的镜像。
  • 也就是说，光的反射是当且仅当m = H
    • 从数学上讲，BRDF是一个缩放的dirac增量\delta_m(H, m)。

因此，完美的镜子是您的模型在开始的^1-但只为镜面BRDF！

如果你想看到，如果把漫射的BRDF包含到你的BRDF中是一个完美的镜子，那么这个假设不再成立，因此你没有diracδ函数。

^1注意到他说一个微面是一个完美的镜子。但是，如果您的所有微面都是完全对齐的，那么您的微几何“等于”您的宏几何。

Answer 2

实际上，我偶然发现了同样的问题。我想我已经在pbr书中找到了解决方案：https://www.pbr-book.org/3ed-2018/Reflection_模型/微面_Models#TheTorrancendashSparrowModel

基本上，据我所知，完美镜子的推导(没有壁画和几何术语)是这样的：

L(\omega_o)=\int \text{brdf}(\omega_i, \omega_o) \cos(\theta_i) d\omega_i=\int\frac{D(\omega_h) L_i(\omega_i)}{4\cos(\theta_i) \cos(\theta_o)}\cos(\theta_i)d\omega_i=\int\frac{D(\omega_h) L_i(\omega_i)}{4\cos(\theta_o)}d\omega_i

然而，关键的细节是分布函数D(\omega_h)=\delta(\omega_h)是\omega_h的函数，但是集成发生在\omega_i上。根据pbr书中的公式8.17，

d\omega_h=\frac{d\omega_o}{4 \cos(\theta_h)}=\frac{d\omega_i}{4 \cos(\theta_h)}

，对于在完美镜像上集成的情况，\theta_h=\theta_i=\theta_o，本质上意味着d\omega_i=4 \cos(\theta_o)d\omega_h。

现在，最后替代这个d\omega_i并在\omega_h上进行本质上的集成，我们得到：

L(\omega_o)=\int\frac{D(\omega_h) L_i(\omega_i(\omega_h))}{4\cos(\theta_o)}4 \cos(\omega_o)d\omega_h=\int\delta(\omega_h)L_i(\omega_i(\omega_h))d\omega_h=L(\omega_i)

这是因为D(\omega_h)是\omega_h的函数，而不是\omega_i的函数。但是，可以通过以下“额外”术语将其中一个转换为另一个：d\omega_h=\frac{d\omega_o}{4\cos(\omega_h)}