如何将物体空间转化为世界空间( 3D数学入门书中的练习)

Question

这不是作业。我是自学计算机图形学，使用的书“三维数学基础为图形和游戏发展”(第二版)。所以，第三章中的练习6，我不知道如何准确地解决。事情是这样的：

“假设机器人位于(1，10，3)的位置，她在垂直空间中表示的右、上和前向矢量分别是0.866，0，−0.500、0，1，0和0.500，0，0.866。(注意，这些向量构成一个正交基础。)以下点在物体空间中表示。计算这些点在直立和世界空间中的坐标。(a) (−1，2，0) (b) (1，2，0) .”

现在我知道，为了从物体空间转换到世界空间，我必须首先通过旋转转换成惯性/直立空间，然后通过转换进入世界空间。所以我假设点(1,10,3)用世界空间坐标表示。我不明白的是，用哪一个矩阵来做点旋转(-1,2,0)？我从概念上理解正在发生什么，但我不知道在这里应该做什么操作。帮助是非常需要的，我们会感激的。提前谢谢。

Answer 1

对于其他可能有这个问题的人，这里可能有一个更直截了当的数字答案(我现在也在研究这本书)。考虑到这一点：

1. 我们被赋予物体空间坐标，这些坐标需要被转换成垂直的和随后的世界空间坐标。
2. 我们知道，当向量\vec{v}是正交的(相互垂直且长度为l = 1)时，它们可以表示为其轴与基向量集\vec{p}、\vec{q}、\vec{r}之间的线性变换。
3. 表示这一点的方程式是：\vec{v} = v_{x}p + v_{y}q + v_{z}r
4. 给定基向量，我们可以用上面的方程来计算每个对象的参考值。因此，第一个例子是：

\vec{u} = -1 \begin{bmatrix}0.866\\ 0\\ -0.500 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix}0\\ 1\\ 0\end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix}0.500\\ 0\\ 0.866\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.866\\ 2\\ 0.500\end{bmatrix}

然后，要在世界空间中计算这一点，只需将您的世界空间引用添加到垂直向量中。意思：

\vec{w} = o + u

书中的第一个例子是：

\vec{w} = \begin{bmatrix}1\\ 10\\ 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-0.866\\ 2\\ 0.500\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.134\\ 12\\ 3.500\end{bmatrix}

Answer 2

让我试着用数学的方法翻译这个问题陈述，这样就可以更容易地理解它。

假设机器人处于该位置(1，10，3)

假设有一组基\mathbf{e}_i和原点\mathbf{O}，那么在这个基础上表示的机器人位置\mathbf{P}是基和系数\mathbf{p}=(1,10,3)的原点加线性组合：

\mathbf{P}=p_i \mathbf{e}_i + \mathbf{O}

在垂直空间中表示的她的右向量、向上向量和前向向量分别是0.866，0，−0.500、0，1，0和0.500，0，0.866。

现在我们有另一组基表示为\mathbf{e}'_i附加在\mathbf{P}，这两个基\mathbf{e}和\mathbf{e}'之间的关系也表示为线性组合。也就是说，表示\mathbf{m}_0=(0.866,0,-0.5)、\mathbf{m}_1=(0,1,0)和\mathbf{m}_2=(0.5,0,0.866)，然后

\mathbf{e}'_i=m_{ij} \mathbf{e}_j

计算这些点在垂直和世界空间的坐标。(a) (−1，2，0) (b) (1，2，0) .

给定的坐标在对象空间中，问题要求我们分别用框架\{\mathbf{e}_i,\mathbf{P}\}和\{\mathbf{e}_i,\mathbf{O}\}来计算它们的表示。

以\mathbf{x}=(-1,2,0)为例，我们希望找到竖直空间中的坐标\mathbf{l}：

\begin{align} x_i \mathbf{e}'_i + \mathbf{P} &= l_i \mathbf{e}_i + \mathbf{P}\\ x_j m_{ji} \mathbf{e}_i &= l_i \mathbf{e}_i \end{align}

用矩阵形式写成：\mathbf{M}^T \mathbf{x}=\mathbf{l}。

接下来，我们在世界空间中找到坐标\mathbf{w}：

\begin{align} x_i \mathbf{e}'_i + \mathbf{P} &= w_i \mathbf{e}_i + \mathbf{O} \\ x_i \mathbf{e}'_i + p_i\mathbf{e}_i &= w_i \mathbf{e}_i \\ x_j m_{ji} \mathbf{e}_i + p_i\mathbf{e}_i &= w_i \mathbf{e}_i \\ x_j m_{ji} + p_i &= w_i \end{align}

以矢量形式书写：

\mathbf{M}^T \mathbf{x} + \mathbf{p} = \mathbf{w}

你的想法大体上是正确的。并通过考虑两个基之间的关系(m_{ij})来构造“直立”矩阵，如上面所示。