有限域GF(9)的定义

Question

GF(9)或GF(3^2)是最小的有限域，它的阶不是素数或2的幂。素数阶有限域不是特别有趣的领域，GF(2^8) (链接)和GF(2^{64}) (链接)已经面临挑战。

挑战

首先定义字段的九个元素。这些必须是从0到255的不同整数，或者它们的代码点所代表的单字节字符.在您的答案中说明您选择的表示形式。

然后实现两个二进制操作，加法和乘法，满足场公理场公理：

• 这两种运算都必须是可交换的和结合的。
• 加法具有恒等元素0和每个元素的相加逆。
• 乘法具有恒等元素1和除0以外的每个元素的乘法逆。
• 乘法分布于加法：a·(b+c) = (a·b)+(a·c)

加法和乘法可以实现为函数或程序，接受两个字段元素，产生一个字段元素。

由于字段非常小，所以可以对公理进行详尽的测试，以检查实现或验证加法表和乘法表。

数学构造

GF(3^2)的元素可以解释为形式P(x)=a x+b在GF(3)上的多项式。( GF(3)=\{0,1,2\}中的加法和乘法是模3的标准整数运算。)

那么GF(3^2)中的加法就是两个多项式的加法。乘法是由两个多项式的乘积定义的，可约模为2次多项式，它是不可约上的GF(3)多项式。

示例

用n=3a+b将多项式映射到整数，并使用不可约多项式x^2+1生成下列加法和乘法表。请注意，这些表还有其他可能的同构。

+   0 1 2 3 4 5 6 7 8   *   0 1 2 3 4 5 6 7 8
   ------------------      ------------------
0 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8   0 | 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 | 1 2 0 4 5 3 7 8 6   1 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 2 0 1 5 3 4 8 6 7   2 | 0 2 1 6 8 7 3 5 4
3 | 3 4 5 6 7 8 0 1 2   3 | 0 3 6 2 5 8 1 4 7
4 | 4 5 3 7 8 6 1 2 0   4 | 0 4 8 5 6 1 7 2 3
5 | 5 3 4 8 6 7 2 0 1   5 | 0 5 7 8 1 3 4 6 2
6 | 6 7 8 0 1 2 3 4 5   6 | 0 6 3 1 7 4 2 8 5
7 | 7 8 6 1 2 0 4 5 3   7 | 0 7 5 4 2 6 8 3 1
8 | 8 6 7 2 0 1 5 3 4   8 | 0 8 4 7 3 2 5 1 6

使用上表检验分布性：

5 · (2 + 7) = 5 · 6 = 4

(5 · 2) + (5 · 7) = 7 + 6 = 4

注意，简单地使用加法和乘法模9是行不通的。

评分

这是暗号高尔夫。分数是用于加法和乘法的函数(或程序)的字节之和。最少字节数获胜。

Answer 1

帕里/GP，88字节

使用数字0到8来表示元素。使用Pari/GP的内建多项式算法。

f(a)=a%3+a\3*x
g(a)=Vecrev(a%(x^2+1),2)%3*[1,3]~
s(a,b)=g(f(a)+f(b))
p(a,b)=g(f(a)*f(b))

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帕里/GP，86字节

受达斯汀·G·米克森的回答的启发。

f(a)=a%3+a\3*I
g(a)=[real(a),imag(a)]%3*[1,3]~
s(a,b)=g(f(a)+f(b))
p(a,b)=g(f(a)*f(b))

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Answer 2

哈斯克尔，83字节

这是05AB1ES答案的直接改编，这个函数接受0，1，2，10，11，12，20，21和22。

k=flip mod
q=l.k 30
l a=a-z+k 3 z where z=k 10 a
p=((q.k 98.k 300).).(*)
s=(q.).(+)