可能的不同组合

Question

问题

给定一个值n，想象在引用(0，0)到(2n，0)中刻有的山地景观。斜坡之间不应该有空白，山也不应该下降到x轴以下。需要解决的问题是:给定n(定义景观的大小)和峰数k (k总是小于或等于n)，那么有多少山可以与k峰结合？

输入

N代表景观的宽度，k代表山峰的数目。

输出

可能的组合数量。

示例

给定n=3和k=2，答案是三个组合。

给出一个可视化示例，它们如下所示：

   /\     /\      /\/\
/\/  \   /  \/\  /    \

这三个组合可能使用6 (3*2)个位置和2个峰值。

编辑：-更多例子-

n  k  result
2  1  1
4  1  1
4  3  6
5  2  10

获胜条件

适用标准的密码-高尔夫规则。最短的提交(以字节为单位)获胜。

Answer 1

Python，40字节

f=lambda n,k:k<2or~-n*n*f(n-1,k-1)/~-k/k

在网上试试！

使用递归a_{n,1} = 1，a_{n,k} = \frac{n(n-1)}{k(k-1)}a_{n-1,k-1}。

Answer 2

果冻，7字节

cⱮṫ-P÷⁸

在网上试试！

接受输入作为n，然后是k。使用公式

N(n,k)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}

我在维基百科上找到的。

cⱮṫ-P÷⁸
c        Binomial coefficient of n and...
 Ɱ       each of 1..k
  ṫ-     Keep the last two. ṫ is tail, - is -1.
    P    Product of the two numbers.
     ÷   Divide by
      ⁸  n.

7字节

每一行都是自己工作的。

,’$c@P÷
c@€ṫ-P÷

接受输入作为k，然后是n。

7字节

cⱮ×ƝṪ÷⁸

• 感谢乔纳森·艾伦的这一次。

Answer 3

Wolfram语言(数学)，27字节

三个版本，全部相同的长度：

(b=Binomial)@##b[#,#2-1]/#&

Binomial@##^2#2/(#-#2+1)/#&

1/(Beta[#2,d=#-#2+1]^2d##)&

在网上试试！ (只是第一个版本，但您可以复制和粘贴以尝试其他版本)。

所有这些都是\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!(n-k-1)!}上的某种变体，这是一直在运行的公式。我希望用Beta函数来实现，这是一种二项式的相互作用，但后来发生了太多的分裂。