带约束的NLS优化:曲线下等面积

Question

我有一条曲线，中间有一个扰动(在t=9)，这会导致我的数据出现衰退(t<9)和上升(t>9)。我想拟合一个指数函数，并增加一个约束，即两者的面积(衰退和上升)相等。

见图：

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我可以使用optim对曲线进行拟合，但我无法计算出约束。这应该是这样的：

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其中f(x)是指数函数。

我尝试过constrOptim，但我也愿意使用其他的解决方法。

y <-c(170, 160, 145, 127, 117, 74, 76, 78, 101, 115, 120, 70, 64, 65)
t <- seq(1,14,1)

# starting values:
lm <-lm(log(y) ~ log(t))

# Exp. Least-Squares minimization:
func <-function(pars) {
  a <- pars["a"]
  b <- pars["b"]
  fitted <- a*exp(b*t)
  sum((y-fitted)^2)  
} 

a <-lm$coefficients[[1]]
b <-lm$coefficients[[2]]
c <- 

result <- optim(c(a=a, b=b), func)

# final parameters:
a <- result$par["a"]
b <- result$par["b"]


# predict values:
pred <- a*exp(b*t)
dat = data.frame(y=y, t=t, pred=pred)

library(ggplot2)
ggplot(dat, aes(x=t, y=y)) +
  geom_line() +
  geom_line(data=dat, aes(x=t, y=pred), color='blue')

编辑：

我知道我需要在上面的优化中添加约束。就像这样：

i = 6:12

result <- optim(c(a=a, b=b), func, sum(y[i]-a*exp(b*t[i])=0)

但这似乎行不通。optim不允许这类约束。

Answer 1

我可以建议将扰动建模为正弦波吗？

fit <- nls(y ~ a * exp(b * t) + ifelse(d*(t - m) < 0 | d*(t - m) > 2 * pi, 0 , c * sin(d*(t - m))), 
           start = list(a = 170, b = -0.1, c = -20, d = 1, m = 5))
summary(fit)

dat <- data.frame(y=y, t=t)
preddat <- data.frame(t = seq(min(t), max(t), length.out = 100))
preddat$y <- predict(fit, preddat)
preddat$y1 <- coef(fit)[["a"]] * exp(coef(fit)[["b"]] * preddat$t)


library(ggplot2)
ggplot(dat, aes(x=t, y=y)) +
  geom_line() +
  geom_line(data=preddat, color='blue') +
  geom_line(data=preddat, aes(y = y1), color='red', linetype = 2)

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我相信有信号处理背景的人会想出比丑陋的ifelse黑客更好的东西。