计算辅助因子矩阵的快速算法

Question

我想知道是否有一种快速算法，例如(O(n^3))来计算N*N方阵的余因子矩阵(或共轭矩阵)。是的，你可以先分别计算它的行列式和逆运算，然后再把它们相乘。但是这个方阵是不可逆的呢？

我对这里被接受的答案很好奇：Speed up python code for computing matrix cofactors

它的意思是“这可能意味着，对于非可逆矩阵，有一些聪明的方法来计算辅助因子(即，不使用上面使用的数学公式，而是一些其他等价的定义)”？

Answer 1

分解M=L，其中

L是下三角形，主对角线上有一个，

U是主对角线上的上三角形，并且

D是对角的。

您可以像Cholesky因式分解那样使用回替换，这是类似的。然后,

M^{ -1 }= U^{ -1 }x D^{ -1 }x L^ -1 }

然后将辅助因子矩阵转置为：

Cof( M )^T = Det( U)x Det( D)x Det( L)x M^{ -1 }

如果M是单数或接近单数，则D的一个(或多个)元素将为零或几乎为零。用矩阵积中的零和行列式中的1替换这些元素，并将上述方程用于转置余因子矩阵。