如何有效地计算由共面点定义的闭环的法线？

Question

我们有一组共面点，定义了一个闭环，这是反时钟的绕线。保证循环不会自相交。

我们要计算正常值

我们有两个问题。

1. 对于接近共线的点，浮点精度会导致使用交叉积计算错误法线。
2. 对于一个凹的闭环，一些法线将指向相反的方向。

我们的解决方案是计算所有定义闭环的顺序段的正常值。这样，可以通过舍弃外围计算的法线来克服问题1。通过知道大多数法线的方向是正确的，可以克服问题2。

这似乎是可行的，但非常昂贵。

有没有更简单、更便宜、更优雅的解决方案？

Answer 1

假设点{p_i}，0<=i<n形成逆时针多边形，计算多边形的三角形扇形(即使在凹部分)的每个三角形的交叉积之和：

normal = vector3(0, 0, 0);
for(int i=1; i<n-1; ++i) 
    normal += cross(p[i+1]-p[0],p[i]-p[0]);
normal /= norm(n);

这是从斯托克定理派生的。法线的长度(在归一化之前)等于循环所包围的符号区域的两倍。因此，您可以保证它不会为空(如果该区域不是空的)，并且保证它将指向正确的方向。