用“`fsolve`”解n个未知数的m方程( n<m )

Question

假设我有两个方程，其中一个未知，我想使用fsolve来解决这个问题：

0 = 0.5*x[0]**2-2
0 = 2-x

答案显然是x=2。我试过这个

import numpy as np; from scipy.optimize import fsolve
def f(x):
    r  = np.zeros(2)
    r[0] =  0.5*x[0]**2-2
    r[1] = 2-x[0]

    return r

fsolve(f,[0.5])

错误消息是“调用之间更改大小的函数返回的数组”

我看不出这里出了什么问题。我该如何解决这个问题？

一般情况下，当变量数小于方程数时，如何求解方程。

这是完整的信息

Traceback (most recent call last):

  File "<ipython-input-37-e4f77791f3f6>", line 12, in <module>
    fsolve(f,[0.5])

  File "... anaconda3/lib/python3.7/site-packages/scipy/optimize/minpack.py", line 148, in fsolve
    res = _root_hybr(func, x0, args, jac=fprime, **options)

  File ".... /anaconda3/lib/python3.7/site-packages/scipy/optimize/minpack.py", line 227, in _root_hybr
    ml, mu, epsfcn, factor, diag)

ValueError: The array returned by a function changed size between calls

Answer 1

对于过确定的系统(方程的数量大于变量的数量)，您需要使用例如最小二乘法。在这种情况下，通常没有传统意义上的解决办法。我们需要定义，我们应该把什么作为系统的解决方案。

让你有一个有一个标量变量的两个方程组：

f(x) =0 g(x) =0

这种系统通常不一致，在传统意义上没有解决办法。

让我们将一些值eps1和eps2添加到系统的右侧：

f(x) =0+ eps1 g(x) =0+ eps2

eps1和eps2是一些价值；

现在，当x的最小值上升时，让我们找到这样的eps1^2 + eps2^2；这将是最小二乘意义上的系统的解决方案。

要获得这样的解决方案，您可以使用正方形函数。

让我们看一看下面的代码，它解决了您的方程组：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve, least_squares
def f(x):
    r  = np.zeros(2)
    r[0] =  0.5*x**2-2
    r[1] = 2-x

    return r

least_squares(f, [0.0])

结果：

active_mask: array([0.])
        cost: 5.175333019854869e-20
         fun: array([ 2.87759150e-10, -1.43879575e-10])
        grad: array([7.19397879e-10])
         jac: array([[ 2.00000001],
       [-1.        ]])
     message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
        nfev: 6
        njev: 6
  optimality: 7.193978788924559e-10
      status: 1
     success: True
           x: array([2.])