为什么在这个3.4.x版本的Python代码中，一些非常接近的浮点数会引起如此大的差异？

Question

当我执行这段代码时，它是生成算术散度的，或者不是用非常接近的浮点数，当数字达到2**n-p/q的形式时，它会产生一个可接受的结果，有时会产生非常快的散度。我读过一些关于浮点运算的文档，但我认为问题在其他地方，但在哪里？如果有人有主意我会很乐意理解这件事的..。

我尝试在Python3.4.5(32位)上执行代码，并在网上尝试使用repl.it和trinket在这里使用url[https://trinket.io/python3/d3f3655168]，结果是相似的。

#this code illustrates arithmetical divergence with floating point numbers
# on Python 3.4 an 3.6.6

def ErrL(r):
    s=1
    L=[]
    for k in range(10):
        s=s*(r+1)-r
        L.append(s)
    return L

print(ErrL(2**11-2/3.0)) # this number generate a fast divergence in loop for
#[0.9999999999997726, 0.9999999995341113, 0.9999990457047261, 0.9980452851802966, -3.003907522359441, -8200.33724163292, -16799071.44994476, -34410100067.30351, -70483354973240.67, -1.4437340543685667e+17]

print(ErrL(2**12-1/3.0)) # this number generate a fast divergence in loop for
#[0.9999999999995453, 0.9999999981369001, 0.9999923674999991, 0.968732191662184, -127.09378815725313, -524756.5521508802, -2149756770.9781055, -8806836909202.637, -3.607867520470422e+16, -1.4780230608860496e+20]

print(ErrL(2**12-1/10.0)) # this number generate a fast divergence in loop for
#[0.9999999999995453, 0.9999999981369001, 0.9999923670652606, 0.9687286296662023, -127.11567712053602, -524876.117595124, -2150369062.0754633, -8809847014512.865, -3.609306223376185e+16, -1.478696666654989e+20]

print(ErrL(2**12-1/9.0)) # no problem here
#[1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

print(ErrL(2**12-1/11.0)) # no problem here
#[1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

我所期待的显然是一个十个1的向量！

Answer 1

发散非常快的原因是数学。如果编写f(s) = (r+1) * s - r，很明显，导数是常数r+1。根据维基百科，IEE 754中的64位浮点数有53位的尾数。当r接近2**11时，最后一个位上的错误将需要小于5个步骤才能接近1，当数接近2**12时，它在第5次迭代时爆炸，这就是您得到的结果。

唉，40年前我学的数学还没坏……

Answer 2

当使用Python2执行此代码时，整数之间的/表示整数除法(在Python3中现在称为// )。

因此，在本例中，2/3、1/3等都等于0，得到的是ErrL(2**11)，.，它总是1。

对于Python3，2/3是一个浮点，而不是0，这解释了为什么得到不同的结果。