如何生成d维球/球内的均匀随机点？

Question

我环顾四周，所有在单位球上产生均匀随机点的解都是为2维或3维设计的。

什么是(可处理的)方法来生成均匀的随机点，在中生成一个任意维的球?特别是在球的表面上。

前言中，在立方体中生成随机点并剔除范数大于1的点在高维情况下是不可行的。在高维中，单位球的体积与单位立方体的体积之比为0。即使在10个维度中，单位立方体中的随机点也只有0.25%左右在单位球内。

Answer 1

在d-dimension球中生成均匀分布的随机点的最佳方法似乎是考虑极坐标(方向而不是位置)。代码如下所示.

1. 在均匀分布的单位球上选择一个随机点。
2. 选择一个随机半径，其中半径的可能性对应于一个球的表面积与该半径的d维数。

这一选择过程将(1)使所有方向的可能性相等，(2)使球的表面上的所有点在单位球内的可能性相等。这将产生我们想要的均匀随机分布在整个球的内部。

选择一个随机方向(在单位球上)

为了达到(1)，我们可以随机生成一个向量，由d独立绘制的高斯分布归一化为单位长度。这行得通是因为高斯分布有一个概率分布函数( x^2 )，它以指数形式存在。这意味着联合分布(对于独立的随机变量，这是它们的PDF的乘积)将在指数中有(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_d^2)。注意，这类似于d维中球的定义，这意味着来自高斯分布的d独立样本的联合分布对旋转是不变的(矢量在球面上是一致的)。

以下是在2D中生成的200个随机点的样子。

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选择随机半径(以适当的概率)

为了达到(2)，我们可以利用与d维数中的球的表面积对应的半径r的累积分布函数的逆来生成半径。我们知道N-球的表面积与r^d成正比，这意味着我们可以在范围内使用[0,1]作为CDF。现在，一个随机样本是通过映射随机数在范围[0,1]通过逆，r^(1/d)。

这里是x^2的CDF的可视化(对于二维)，[0,1]中随机生成的数字将映射到这条曲线上的相应x坐标。(例如.1➞.317)

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以上代码

最后，下面是一些计算以上所有内容的Python代码(假设您已经安装了NumPy )。

# Generate "num_points" random points in "dimension" that have uniform
# probability over the unit ball scaled by "radius" (length of points
# are in range [0, "radius"]).
def random_ball(num_points, dimension, radius=1):
    from numpy import random, linalg
    # First generate random directions by normalizing the length of a
    # vector of random-normal values (these distribute evenly on ball).
    random_directions = random.normal(size=(dimension,num_points))
    random_directions /= linalg.norm(random_directions, axis=0)
    # Second generate a random radius with probability proportional to
    # the surface area of a ball with a given radius.
    random_radii = random.random(num_points) ** (1/dimension)
    # Return the list of random (direction & length) points.
    return radius * (random_directions * random_radii).T

对于后代来说，下面是用上面的代码生成的5000点随机点的视觉效果。

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