酉矩阵的数值对角化

Question

要对正矩阵进行数值对角化，我使用LAPACK例程兹盖耶夫。

问题是:在退化的情况下，退化子空间不是正规化的，因为例程是针对一般矩阵的。

但是，由于在我的例子中，矩阵是酉的，所以基总是可以正规化的。对于退化子空间，有比QR算法更好的解决方案吗？

Answer 1

简短回答：Schur分解!

如果方阵A是复的，则它的Schur分解是A，其中Z是酉的，T是上三角的。如果A碰巧是酉的，那么T也必须是酉的。由于T是幺正的和三角形的，所以它是对角的(这里有证据，。或在那里)，让我们考虑向量Z.e_i，其中e_i是正则基的向量。这些向量显然构成了一个正交基。此外，这些向量是矩阵A的特征向量。因此，酉矩阵Z的列是酉矩阵A 的特征向量，构成了正交基。

因此，计算酉矩阵的Schur分解等价于寻找其特征向量的正交基之一。

计算GE矩阵的特征值、Schur形式和可选的Schur向量矩阵。

生成的T也可以进行测试，以检查A是否为整体式。

下面是一段python代码来测试它，尽管use的scipy.linalg.schur使用了Lapack的zgees来进行Schur分解。我使用hpaulj代码生成随机酉矩阵，如python中随机正交矩阵的建立所示

import numpy as np
import scipy.linalg

#from hpaulj, https://stackoverflow.com/questions/38426349/how-to-create-random-orthonormal-matrix-in-python-numpy
def rvs(dim=3):
     random_state = np.random
     H = np.eye(dim)
     D = np.ones((dim,))
     for n in range(1, dim):
         x = random_state.normal(size=(dim-n+1,))
         D[n-1] = np.sign(x[0])
         x[0] -= D[n-1]*np.sqrt((x*x).sum())
         # Householder transformation
         Hx = (np.eye(dim-n+1) - 2.*np.outer(x, x)/(x*x).sum())
         mat = np.eye(dim)
         mat[n-1:, n-1:] = Hx
         H = np.dot(H, mat)
         # Fix the last sign such that the determinant is 1
     D[-1] = (-1)**(1-(dim % 2))*D.prod()
     # Equivalent to np.dot(np.diag(D), H) but faster, apparently
     H = (D*H.T).T
     return H

n=42
A= rvs(n)
A = A.astype(complex)
T,Z=scipy.linalg.schur(A,output='complex',lwork=None,overwrite_a=False,sort=None,check_finite=True)

#print T
normT=np.linalg.norm(T,ord=None) #2-norm
eigenvalues=[]
for i in range(n):
    eigenvalues.append(T[i,i])
    T[i,i]=0.
normTu=np.linalg.norm(T,ord=None)
print 'must be very low if A is unitary: ',normTu/normT

#print Z
for i in range(n):
    v=Z[:,i]
    w=A.dot(v)-eigenvalues[i]*v
    print i,'must be very low if column i of Z is eigenvector of A: ',np.linalg.norm(w,ord=None)/np.linalg.norm(v,ord=None)