张量运算中的内存和时间

Question

目标，我的目标是计算由公式给出的张量，你可以在下面看到。指数i，j，k，l从0到40，p，m，x从0到80。

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Tensordot逼近这个求和只是收缩了6个指数的巨大张量。我试着用张量点来做，这允许这样的计算，但是我的问题是，即使我做了一个张量点，然后另一个张量点，我的问题是内存。(我在colab工作，所以我有12 so内存)

嵌套循环逼近，但B矩阵有一些附加对称性，即B{ijpx}的唯一非零元素是i+j= p+x，因此，我能够将p和m写成x的函数(p=i+j-x，m=k+l-x)，然后对i，j，k，l，x做了5个循环，但另一方面，由于计算耗时136秒，我想重复多次，所以计时是个问题。

嵌套循环方法中的定时目标，将时间减少10倍是令人满意的，但如果有可能将其减少100倍，那就足够了。

你对解决记忆问题或缩短时间有什么想法吗？如何使用附加约束处理此类求和？

(注:矩阵A是对称的，到目前为止我还没有使用过这个事实。再也没有对称性了。)

下面是嵌套循环的代码：

for i in range (0,40):
  for j in range (0,40):
    for k in range (0,40):
      for l in range (0,40):
            Sum=0
            for x in range (0,80):
              p=i+j-x
              m=k+l-x
              if p>=0 and p<80 and m>=0 and m<80:
                Sum += A[p,m]*B[i,j,p,x]*B[k,l,m,x]
            T[i,j,k,l]= Sum

张量点法的代码：

P=np.tensordot(A,B,axes=((0),(2)))
T=np.tensordot(P,B,axes=((0,3),(2,3)))

Answer 1

南巴可能是你最好的选择。我根据你的代码把这个函数组合在一起。为了避免不必要的迭代和if块，我对它做了一些修改：

import numpy as np
import numba as nb

@nb.njit(parallel=True)
def my_formula_nb(A, B):
    di, dj, dx, _ = B.shape
    T = np.zeros((di, dj, di, dj), dtype=A.dtype)
    for i in nb.prange (di):
        for j in nb.prange (dj):
            for k in nb.prange (di):
                for l in nb.prange (dj):
                    sum = 0
                    x_start = max(0, i + j - dx + 1, k + l - dx + 1)
                    x_end = min(dx, i + j + 1, k + l + 1)
                    for x in range(x_start, x_end):
                        p = i + j - x
                        m = k + l - x
                        sum += A[p, m] * B[i, j, p, x] * B[k, l, m, x]
                    T[i, j, k, l] = sum
    return T

让我们看看它的作用：

import numpy as np

def make_problem(di, dj, dx):
    a = np.random.rand(dx, dx)
    a = a + a.T
    b = np.random.rand(di, dj, dx, dx)
    b_ind = np.indices(b.shape)
    b_mask = b_ind[0] + b_ind[1] != b_ind[2] + b_ind[3]
    b[b_mask] = 0
    return a, b

# Generate a problem
np.random.seed(100)
a, b = make_problem(15, 20, 25)
# Solve with Numba function
t1 = my_formula_nb(a, b)
# Solve with einsum
t2 = np.einsum('pm,ijpx,klmx->ijkl', a, b, b)
# Check result
print(np.allclose(t1, t2))
# True

# Benchmark (IPython)
%timeit np.einsum('pm,ijpx,klmx->ijkl', a, b, b)
# 4.5 s ± 39.2 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)
%timeit my_formula_nb(a, b)
# 6.06 ms ± 20.4 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

正如您所看到的，Numba解决方案大约要快三个数量级，而且它不应该占用超过所需的内存。