Toeplitz猜想的通解

Question

Toeplitz猜想：平面上每条连续的简单闭曲线都包含四个点，这些点是正方形的顶点。

我试图找到(几乎)任何曲线f(x，y)=0的通解。

例如：

(-1 + x^2 +y^2)^3-x^2*y^3= 0

ContourPlot[(-1 + x^2 + y^2)^3 == x^2*y^3, {x, -1.4, 1.4}, {y, -1.3, 1.5},
Frame -> False, PlotPoints -> 200]

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有三个一般条件来寻找正方形的顶点：

顶点的坐标是(p1，k1)，(p2，k2)，(p3，k3)，(p4，k4)

让

g[x_, y_] := (x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2 y^3

1..顶点坐标满足心方程g(x，y)=0

eq1 = g[p1, k1] == 0;
eq2 = g[p2, k2] == 0;
eq3 = g[p3, k3] == 0;
eq4 = g[p4, k4] == 0;

2..两边的长度是相等的。

eq5 = 
  EuclideanDistance[{p1, k1}, {p2, k2}] == 
  EuclideanDistance[{p2, k2}, {p3, k3}] == 
  EuclideanDistance[{p3, k3}, {p4, k4}] == 
  EuclideanDistance[{p1, k1}, {p4, k4}];

3..每个内角都是直角。

angle1 = VectorAngle[{p4 - p1, k4 - k1}, {p2 - p1, k2 - k1}] == Pi/2;
angle2 = VectorAngle[{p1 - p2, k1 - k2}, {p3 - p2, k3 - k2}] == Pi/2;
angle3 = VectorAngle[{p4 - p3, k4 - k3}, {p2 - p3, k2 - k3}] == Pi/2;

我有8方程，和8变量，我想用Mathematica找到一个数值解。

我试过：

NSolve[eq1 && eq2 && eq3 && eq4 && eq5 && angle1 && angle2 && angle3, 
{p1, p2, p3, p4, k1, k2, k3, k4}]

或

FindRoot[{eq1 && eq2 && eq3 && eq4 && eq5 && angle1 && angle2 && angle3}, 
{{p1, 1}, {k1, 1}, {p2, 1}, {k2, 1}, {p3, 1}, {k3,1}, {p4, 1}, {k4, 1}}]

但没有答案..。

Answer 1

一旦你选择了两点，其他两点的立场如下。

如果通过参数方程了解曲线，则从参数的两个值中得到两个点。因此，在两个未知数中有一个由两个方程组成的系统(表示点在曲线上)。

如果你没有参数方程，那么它是四个未知数中的四个方程。