有限指数增长插值算法

Question

我需要实现有限指数增长插值。我在维基百科上找到了这个公式：

B(t)=S-(S-B(0))*e^(-k*t)

我必须标记我想要创建的曲线的起点和端点：

​

我只需要在整数区间中的曲线值，例如0,1,2,3，所以从我的角度来看，我需要为k求解上面的方程，因为我有其他的东西。

问题是这个方程

B(END_X)=END_Y-(END_Y-START_Y)*e^(-k*END_X)

没有解决方案，因为它只接近所需的END_Y值，并且永远不会达到它。

我的问题是，在不跳过很多圈的情况下，如何实现最有效地计算k，例如，在实际需要的端点之上稍微增加END_Y？(语言为C++)

编辑://

END_Y-(END_Y-START_Y)*e^(-k*END_X)=END_Y+sgn(END_Y-START_Y)*G

其中G是一个邻近参数。

Answer 1

指数衰减插值

 y = A*exp(-k*x)  (1)

在图片中显示的内容，您至少需要知道两点(x0，y0)，(x1，y1)。在这种情况下

y0 = A*exp(-k*x0)
y1 = A*exp(-k*x1)

y0/y1 = exp(-k*x0)/exp(-k*x1) = exp(-k(x0-x1))

k = log(y0/y1)/(x1-x0). 

先找到k，然后找到A

 A = y0 / exp(-k*x0)

在获得k和A之后，可以在内部点找到y(x)

(x0<x<x1)

公式(1)