存储2以前的数组来实现跳格数值格式

Question

在平流数值求解的背景下，我尝试在时间循环中实现以下递推公式：

​

​

如您所见，我需要(j-1)和前一个(j)值的第二个前一个时间值来计算(j+1)时间值。

我不知道如何实现这个重复公式。下面是我在Python中的尝试，其中u表示每个迭代的值T数组：

l = 1
# Time loop
for i in range(1,nt+1):                                                                  
# Leapfrog scheme                                                                        
    # Store (i-1) value for scheme formula                                               
    if (l < 2):                                                                          
       atemp = copy(u)                                                                   
       l = l+1                                                                           
    elif (l == 2):                                                                       
       btemp = copy(atemp)                                                               
       l = 1                                                                             
    u[1:nx-1] = btemp[1:nx-1] - cfl*(u[2:nx] - u[0:nx-2])                                
    t=t+dt                                                                               

系数cfl等于s。

但仿真结果并不能给出完全好的结果。我觉得我这样做是不对的。

我如何实现这种重复？例如，如何及时地将(j-1)值存储到计算公式(j+1)中？

更新

在公式中：

​

​

时间索引j必须从j=1开始，因为我们有术语T_(i,j-1)。

因此，对于第一次迭代，我们有：

T_i,2 = T_i,0 - s (T_(i+1),1 - T_(i-1),1)

那么，如果只使用时间循环(而不是这样的空间循环)，我不能计算dudx[i]=T[i+1]-T[i-1])，我的意思是，如果不预先计算dudx[i] = T_(i+1),1 - T_(i-1),1，我怎么能计算dudx[i] = T_(i+1),1 - T_(i-1),1呢？

这就是我在最初的问题中试图实现的窍门。主要的问题是我被迫只使用时间循环。

如果我可以在T[i][j]元素中使用2D数组，对于空间元素使用i，对于时间使用j，代码会更简单，但在我的检查中不允许使用2D数组。

Answer 1

我在您的代码中看到了几个问题。首先是符号。从您发布的数值方案来看，您使用j来离散时间，使用i使用空间，这两个方面都使用了中心差异。但是在您的代码中，时间循环似乎是用i编写的，这是令人困惑的。我将在这里使用j作为空间，n作为时间。

第二，这条线

u[1:nx-1] = btemp[1:nx-1] - cfl*(u[2:nx] - u[0:nx-2]) 

是不正确的，因为对于空间导数du/dx，您需要在上应用中心差分格式，每个空间点都是u的。因此，u[2:nx] - u[0:nx-2]没有做任何类似的事情，它只是从解(包括右边的边界点)中减去似乎包含左边边界点的解。你需要正确地计算这个空间导数。

最后，实际上考虑到n-1解决方案的Leap蛙方法通常是通过在另一个变量(如u_prev )中保留上一个时间步骤的副本来实现的。因此，如果您使用跳蛙时间方案加上中心差分空间方案，最后您应该有如下所示

u_prev = u_init
u = u_prev
for n in time...:
    u_new = u_prev - cfl*(dudx)
    u_prev = u
    u = u_new

请注意，LHS上的u用于计算时间n+1，u_prev在time n-1，dudx在当前时间使用u n。此外，您还可以用

for j in space...:
    dudx[j] = u[j+1]-u[j-1]