gcc9+模优化背后的数学

Question

背景

我在玩c中的素数时，偶然发现了gcc主干中的一个新优化(将是9.x版本)，它将模数比较优化为0，并使用幻数进行比较。换句话说，x%prime==0变成了x*Magic_mul<=Magic_cmp

_Bool mod(unsigned x){return x % Constant == 0;}

mod:
  imul edi, edi, Magic_mul
  cmp edi, Magic_cmp
  setbe al

详细信息

在看到asm输出的基础上，它对所有整数(至少是素数)进行了这些优化--我将它们转换为十六进制以帮助查看模式，但这一点目前并不明显。

//32bit examples for _Bool mod_n(unsigned x){return x%n==0;};
//note: parameter is unsigned but it becomes a signed multiply
x%3==0;  // x*0xAAAAAAAB <= 0x55555555
x%5==0;  // x*0xCCCCCCCD <= 0x33333333
x%7==0;  // x*0xB6DB6DB7 <= 0x24924924
x%11==0; // x*0xBA2E8BA3 <= 0x1745D174
x%13==0; // x*0xC4EC4EC5 <= 0x13B13B13
x%17==0; // x*0xF0F0F0F1 <= 0x0F0F0F0F
x%19==0; // x*0x286BCA1B <= 0x0D79435E
x%23==0; // x*0xE9BD37A7 <= 0x0B21642C
x%29==0; // x*0x4F72C235 <= 0x08D3DCB0
x%31==0; // x*0xBDEF7BDF <= 0x08421084
x%37==0; // x*0x914C1BAD <= 0x06EB3E45
x%41==0; // x*0xC18F9C19 <= 0x063E7063
x%43==0; // x*0x2FA0BE83 <= 0x05F417D0
x%47==0; // x*0x677D46CF <= 0x0572620A
x%53==0; // x*0x8C13521D <= 0x04D4873E
x%59==0; // x*0xA08AD8F3 <= 0x0456C797
x%61==0; // x*0xC10C9715 <= 0x04325C53
x%67==0; // x*0x07A44C6B <= 0x03D22635
x%71==0; // x*0xE327A977 <= 0x039B0AD1
x%73==0; // x*0xC7E3F1F9 <= 0x0381C0E0
x%79==0; // x*0x613716AF <= 0x033D91D2
x%83==0; // x*0x2B2E43DB <= 0x03159721
x%89==0; // x*0xFA3F47E9 <= 0x02E05C0B
x%97==0; // x*0x5F02A3A1 <= 0x02A3A0FD
///...and even up to 64bit
x%4294967291==0; //x*0x70A3D70A33333333 <= 0x100000005

我检查了黑客的喜悦“整数除以常量”，这似乎是乘法和右移的余数的特殊情况，但我不确定。有一个计算相同乘数常数的以黑客为乐，所以看起来很有希望。我猜神奇的比较常数代替了shift并将其比较为零，但是我很难想象2s补码，以及移位是算术的还是逻辑的。

问题

这背后是否有一些数学，还是用二进制表示的其他方式确定的数字？

Implications

由于这是简单的整数乘和比较，这可以大大加快(或减少内存占用)检查素数，使用向量扩展/本质。如果数学可以扩展到超过64位，它可能会使找到大数素数的速度快得多？

Answer 1

以3为例。

0xAB *3= 0x201，因此，模0x100，0xAB为1 / 3，相反，0xAB *3≡1。

任何8位无符号整数n都可以表示为n= 3*k + r，r< 3，k最多为0x55 (小数85，积分为255 / 3)。

所以我们有选择：

1. R=0⇒n* 0xAB = 3k * 0xAB =k* (3 * 0xAB)≡k*1=k≤0x55。
2. R=1⇒n* 0xAB = 3k * 0xAB + 0xAB；由于3k * 0xAB最多为0x55 (mod 0x100)，将其添加到0xAB不会溢出，所以3k * 0xAB + 0xAB≥0xAB > 0x55。
3. R=2⇒n* 0xAB = 3k * 0xAB + 0x156≡3k * 0xAB + 0x56≥0x56 > 0x55 (同2.)