加油站动态规划

Question

你和你的朋友们正开车去提华纳度假。你在为旅行省钱，所以你想在路上尽量减少汽油的费用。为了将你的汽油成本降到最低，你和你的朋友们汇编了以下信息。首先，你的车可以可靠地在一罐汽油上行驶数百英里(但不能再行驶了)。你的一个朋友已经从网络上挖掘了加油站的数据，并在你的路线上绘制了每一个加油站，以及加油站的汽油价格。Specifi，他们创建了一个从最近到最远的fi加油站价格列表，以及相邻两个加油站之间的n个距离的列表。塔科马是0号加油站，蒂华纳是n号加油站。为了方便起见，他们将汽油的价格折算为每英里乘坐你的车的价格。此外，还计算了相邻两个加油站之间以英里为单位的距离。你将以满罐汽油开始你的旅程，当你到达提华纳时，你将为返回旅程做好准备。你需要确定在哪个加油站停下来，以尽量减少你旅途中的汽油费用。

样本输入：

价格(每英里美分) 12,14,21,14,17,22,11,16,17,12,30,25,27,24,22,15,24,23,15,21

距离(英里) 31,42,31,33,12,34,55,25,34,64,24,13,52,33,23,64,43,25,15

你的车可以在一罐汽油上行驶170英里。

我的产出：

这次旅行的最低费用是:117.35美元

加油站: 1，6，9，13，17，19

我已经解决了这个问题，但我不确定我是否做得对。有人能给我一些建议或指出我的正确方向，如果是错误的吗？提前谢谢你。

public class GasStation {

/** An array of gas prices.*/
private int[] myPrice;
/** An array of distance between two adjacent gas station.*/
private int[] myDistance;
/** Car's tank capacity.*/
private int myCapacity;
/** List of gas stations to stop at to minimize the cost.*/
private List<Integer> myGasStations;


/**
 * A constructor that takes in a price list, distance list, and the car's tank capacity.
 * @param thePrice - price list
 * @param theDistance - distance list
 * @param theCapacity - the car's capacity
 */
public GasStation(final int[] thePrice, final int[] theDistance,
        final int theCapacity) {
    myPrice = thePrice;
    myDistance = theDistance;
    myCapacity = theCapacity;
    myGasStations = new ArrayList<>();
}


/**
 * Calculate for the minimum cost for your trip.
 * @return minimum cost
 */
public int calculateMinCost() {

    int lenP = myPrice.length;
    int lenD = myDistance.length;
    if (lenP == 0 || lenD == 0 || myCapacity == 0) return 0;

    // gas station -> another gas station (moves) 
    Map<Integer, Integer> gasD = new HashMap<>();
    int[] D = new int[lenD + 1];
    D[0] = 0;

    // calculate the total distance 
    for (int i = 0; i < lenD; i++) {
        D[i + 1] = D[i] + myDistance[i];
    }

    int len = D.length;
    for (int i = 1; i < len - 1; i++) {
        int j = len - 1;
        while (D[j] - D[i] >= myCapacity) {
            j--;
        }
        gasD.put(i, j - i);
    }

    int min = Integer.MAX_VALUE;

    for (int i = 1; i < len; i++) {
        int temp = 0;
        int cur = i;
        List<Integer> tempList = new ArrayList<>();
        if (D[i] <= myCapacity) {
            temp = D[cur] * myPrice[cur];
            tempList.add(cur);
            int next = gasD.get(cur) + cur;
            while (next < len) {
                temp += (D[next] - D[cur]) * myPrice[next];
                cur = next;
                tempList.add(cur);
                if (gasD.containsKey(cur)) next = gasD.get(cur) + cur;
                else break;
            }

            if (temp < min) {
                min = temp;
                myGasStations = tempList;
            }

        }
    }


    return min;
}

/**
 * Get gas stations to stop at.
 * @return a list of gas stations to stop at
 */
public List<Integer> getGasStations() {
    return myGasStations;
}

}

Answer 1

让station i的最小加注成本表示为cost[i]

在问题陈述中，如何表达这一成本？

我们知道下一次灌装必须在170 miles内完成，而不是上次灌装，

因此，最低成本可以表示如下：

cost[i] = MIN { cost[j] + price[i] * distance_from_i_to_j } for every j such that distance(i,j) <= 170 mi

对于基箱cost[0] = 0，如果我们不考虑station 0的全部油箱成本，否则基本情况是cost[0]= 170 * price[0]

我将假设我们不考虑station 0的全部油箱成本，而且在最后一点，即station 19，不需要再加油。

通过查看上面定义的递归关系，我们可以很容易地注意到同一个子问题被多次调用，这意味着我们可以利用动态规划解来避免可能的指数运行时间。

还要注意的是，由于我们不需要在station 19加注，所以我们应该计算仅通过18 (即cost[1], cost[2], .., cost[18] )在站中重新填充的成本。在这样做之后，问题的答案将是MIN { cost[14], cost[15], cost[16], cost[17], cost[18] }，因为位于station 19 170英里范围内的唯一站点是14,15,16,17,18站，所以我们可以通过在这5个站点中的一个重新填充来到达19站。

在用基本情况定义了上述递归关系之后，我们可以通过以下方式将其转换为循环：

int price[] =  {12,14,21,14,17,22,11,16,17,12,30,25,27,24,22,15,24,23,15,21}; //total 20 stations

int distance[] = {31,42,31,33,12,34,55,25,34,64,24,13,52,33,23,64,43,25,15};  //total 19 distances      

int N=19;
int[] cost = new int[N];    
int[] parent = new int[N]; //for backtracking

cost[0] = 0; //base case (assume that we don't need to fill gas on station 0)

int i,j,dist;
int maxroad = 170;

for(i=0; i<N; i++) //initialize backtracking array
    parent[i] = -1;


for(i=1; i<=N-1; i++) //for every station from 1 to 18
{

        int priceval = price[i]; //get price of station i               
        int min = Integer.MAX_VALUE;                
        dist = 0;            

        for(j=i-1; j>=0; j--) //for every station j within 170 away from station i
        {   
            dist += distance[j]; //distance[j] is distance from station j to station j+1
            if(dist>maxroad)
               break;   

            if((cost[j] + priceval*dist)<min) //pick MIN value defined in recurrence relation                       
               {
                min = cost[j] + priceval*dist;
                parent[i] = j;
               }

        }

        cost[i] = min;              

}


//after all costs from cost[1] up to cost[18] are found, we pick
//minimum cost among the stations within 170 miles away from station 19
//and show the stations we stopped at by backtracking from end to start

int startback=N-1;
int answer=Integer.MAX_VALUE;
i=N-1;
dist=distance[i];
while(dist<=maxroad && i>=0)
{
   if(cost[i]<answer)
      {
       answer = cost[i];
       startback=i;
      }  
   i--;
   dist += distance[i];
}


System.out.println("minimal cost=" + answer + "\nbacktrack:");

i=startback;
while(i>-1) //backtrack
{
    System.out.println(i + " ");
    i = parent[i];
}