用新观测数据更新PyMC3模型

Question

去年我测量了80个水果的直径，在检查了这些值的最佳分布之后，我创建了一个PyMC3模型

with Model() as diam_model:
    mu = Normal('mu',mu=57,sd=5.42)
    sigma = Uniform('sigma',0,10)

在此之后，据我所知，我用我以前的数据(80个值)“训练”了模型。

with diam_model:
    dist = Normal('dist',mu=mu,sd=sigma, observed=prior_data.values)

with diam_model:
    samples=fit().sample(1000)

然后我使用了plot_posterior的samples，还返回平均值和HPD。

我的想法是今年再次测量使用贝叶斯更新，以减少样本大小。如何添加单个值，并更新后验，期望HPD变得越来越小？

Answer 1

核密度估计的更新先验

使用作为副本的另一个答案，可以使用这个木星笔记本中的代码提取优先级的近似版本。

第一轮

我假设我们有第一轮抽样的数据，我们可以把平均值57.0和标准偏差5.42。

import numpy as np
import pymc3 as pm
from sklearn.preprocessing import scale
from scipy import stats

# generate data forced to match distribution indicated
Y0 = 57.0 + scale(np.random.normal(size=80))*5.42

with pm.Model() as m0:
    # let's place an informed, but broad prior on the mean
    mu = pm.Normal('mu', mu=50, sd=10)
    sigma = pm.Uniform('sigma', 0, 10)
    
    y = pm.Normal('y', mu=mu, sd=sigma, observed=Y0)
    
    trace0 = pm.sample(5000, tune=5000)

从后部提取新的前驱

然后，我们可以使用这个模型的结果来提取参数的KDE后验，下面的代码来自参考笔记本

def from_posterior(param, samples, k=100):
    smin, smax = np.min(samples), np.max(samples)
    width = smax - smin
    x = np.linspace(smin, smax, k)
    y = stats.gaussian_kde(samples)(x)
    
    # what was never sampled should have a small probability but not 0,
    # so we'll extend the domain and use linear approximation of density on it
    x = np.concatenate([[x[0] - 3 * width], x, [x[-1] + 3 * width]])
    y = np.concatenate([[0], y, [0]])
    return pm.Interpolated(param, x, y)

第二轮

现在，如果我们有更多的数据，我们可以使用KDE更新的优先级运行一个新模型：

Y1 = np.random.normal(loc=57, scale=5.42, size=100)

with pm.Model() as m1:
    mu = from_posterior('mu', trace0['mu'])
    sigma = from_posterior('sigma', trace0['sigma'])
    
    y = pm.Normal('y', mu=mu, sd=sigma, observed=Y1)
    
    trace1 = pm.sample(5000, tune=5000)

同样，我们也可以利用这条线索来提取最新的后验估计值，以供未来几轮输入数据使用。

请注意，撤离者

上述方法得到了近似于真实更新的前项，在共轭先验不可能的情况下将是最有用的。还应该注意到，我不确定这种KDE基近似在多大程度上引入了错误，以及当重复使用时它们是如何在模型中传播的。这是一个巧妙的技巧，但在没有进一步验证其健壮性的情况下，应该谨慎地将其投入生产。

特别是，我非常关注后验分布具有强相关结构的情况。这里提供的代码只使用每个潜在变量的边缘生成一个“先验”分布。对于像这样简单的模型来说，这似乎很好，而且不可否认的是，最初的前项也缺乏相关性，所以这里可能不是一个大问题。但是，一般说来，总结到边缘涉及到丢弃关于变量是如何关联的信息，而在其他情况下，这可能是相当重要的。例如，Beta分布的默认参数化总是导致后验中的相关参数，因此上述技术将是不合适的。相反，我们需要推断出一个包含所有潜在变量的多维KDE。

共轭模型

但是，在您的特殊情况下，期望分布是高斯分布，并且这些分布具有建立闭形共轭模型，即原则性的解决方案，而不是近似。我强烈建议通过凯文·墨菲进行工作。

正逆Gamma模型

正逆Gamma模型估计了观测到的正态随机变量的均值和方差.均值用正态先验建模，方差用逆伽马表示。该模型使用四个参数作为先前的参数：

mu_0  = prior mean
nu    = number of observations used to estimate the mean
alpha = half the number of obs used to estimate variance
beta  = half the sum of squared deviations

给定您的初始模型，我们可以使用以下值

mu_0  = 57.0
nu    = 80
alpha = 40
beta  = alpha*5.42**2

然后，您可以按以下方式绘制优先项的日志可能性：

# points to compute likelihood at
mu_grid, sd_grid = np.meshgrid(np.linspace(47, 67, 101), 
                               np.linspace(4, 8, 101))

# normal ~ N(X | mu_0, sigma/sqrt(nu))
logN = stats.norm.logpdf(x=mu_grid, loc=mu_0, scale=sd_grid/np.sqrt(nu))

# inv-gamma ~ IG(sigma^2 | alpha, beta)
logIG = stats.invgamma.logpdf(x=sd_grid**2, a=alpha, scale=beta)

# full log-likelihood
logNIG = logN + logIG

# actually, we'll plot the -log(-log(likelihood)) to get nicer contour
plt.figure(figsize=(8,8))
plt.contourf(mu_grid, sd_grid, -np.log(-logNIG))
plt.xlabel("$\mu$")
plt.ylabel("$\sigma$")
plt.show()

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更新参数

给定新的数据，Y1，可以按以下方式更新参数：

# precompute some helpful values
n = Y1.shape[0]
mu_y = Y1.mean()

# updated NIG parameters
mu_n = (nu*mu_0 + n*mu_y)/(nu + n)
nu_n = nu + n
alpha_n = alpha + n/2
beta_n = beta + 0.5*np.square(Y1 - mu_y).sum() + 0.5*(n*nu/nu_n)*(mu_y - mu_0)**2

为了说明模型中的变化，让我们从稍有不同的分布中生成一些数据，然后绘制出产生的后验日志可能性：

np.random.seed(53211277)
Y1 = np.random.normal(loc=62, scale=7.0, size=20)

产额

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在这里，20个观测不足以完全移动到我提供的新位置和规模，但这两个参数似乎都朝着这个方向移动。