具有不同x值的两组xy点之间的面积

Question

我真的在努力找出两个车辆轨迹之间的总面积(无论是正的还是负的)，以不同x值的xy点集的形式，以及每条轨迹的不同点数。我尝试过内置的积分函数；我尝试使用内置的逼近函数( x1，y2-y1)并取绝对值，然后进行积分，但这是不可能的，因为在我的情况下，y1和y2的长度是不同的，并且x值对于每个轨迹都不一样(我有x1和x2)！我还尝试了AUC (x1，abs(y2-y1)在不同的包，如“乱七八糟”和"DescTools“找到这个区域的工作，但不适用于我的情况再次出于同样的原因(不同的向量长度和不同的x值)。最后，我在路径映射包中找到了一个叫做“路径映射”的函数，它非常棒，它计算出两个轨迹之间的总面积，但是只有一个问题，就是我不能定义我想要计算的x-范围(它计算了下面第二个图中显示的面积，而我想计算第一个图中显示的面积)，所以在这个函数中我看不到任何参数，可以确定x-范围，或者从哪个点来计算区域。

下面是一个示例：

library("pathmapping")
x1<-c(1,3,5,9,13,14,16,18,23)
y1<-c(8,8,10,10,6,7,4,5,5)
x2<-c(3,6,7,11,11,15,18)
y2<-c(7.5,7.5,11,11,4.5,4.5,10)
path1<-cbind(x1,y1)
path2<-cbind(x2,y2)
CreateMap(path1,path2,F)

下图显示了所需的阴影区域：

我可以使用CreateMap函数找到这个阴影区域：

基本上，我想计算两个轨迹之间的面积，两个轨迹的内部/最近的起点/终点(如第一个图)。我可以确定边界，但无法找到将它们包含在CreateMap函数中的方法。

总之，我需要计算第一个图中阴影的面积，我有两种情况: 1.在MESS和DescTools包中内置积分函数和AUC函数，因为我有不同的轨迹长度(在上面的例子中，第一条有9点，第二条有7点)，而且每个轨迹的x值不同(path1有x1，path2有x2)，尽管在这些函数中可以包含x-范围或边界。2.路径映射包中的CreateMap函数，它完美地计算区域(如图2所示)，但不能确定或包括函数中的边界，因为我只想计算轨迹之间的区域，只在最近的一对轨迹起始点/终点之间(如图1所示)。

任何有代码或功能的建议/提示(如果可能的话)将不胜感激。

Answer 1

您的函数是分段线性的，因此可以通过线性插值来定义函数，并应用已知的积分法计算面积。

我将您的第二个函数分成两个，因为在x = 11中它有两个不同的值(这对于函数来说是不可能的)。

x1<-c(1,3,5,9,13,14,16,18,23)
y1<-c(8,8,10,10,6,7,4,5,5)
x2<-c(3,6,7,11)
y2<-c(7.5,7.5,11,11)
x3<-c(11,15,18)
y3<-c(4.5,4.5,10)

f1 <- approxfun(x1, y1, method = "linear", 1, 23)
f2 <- approxfun(x2, y2, method = "linear", 3, 11)
f3 <- approxfun(x3, y3, method = "linear", 11, 18)

现在，我们将f1-f2从3到11，f1-f3从11到18集成，然后将这两个积分值相加。

I1 <- integrate(function(x) f1(x) - f2(x), 3, 11)$value
I2 <- integrate(function(x) f1(x) - f3(x), 11, 18)$value
I1 + I2
## [1] 1

如果要避免拆分函数，也可以采用以下方法。

x1<-c(1,3,5,9,13,14,16,18,23)
y1<-c(8,8,10,10,6,7,4,5,5)
x2<-c(3,6,7,11-1e-15, 11+1e-15, 15, 18)
y2<-c(7.5,7.5,11,11,4.5,4.5,10)

f1 <- approxfun(x1, y1, method = "linear", 1, 23)
f2 <- approxfun(x2, y2, method = "linear", 3, 18)

integrate(function(x) f1(x)-f2(x), 3, 18)
## 1.000001 with absolute error < 3.3e-05

若要查找f1与f2相等的所有点，请从实践包中使用findzeros()。

pracma::findzeros(function(x) f1(x)-f2(x), 3, 18)
[1]  6.714286 10.999927 15.300000

我们现在可以把积分从3加到6.7，从6.7到11，从11到15.3，从15.3到18 --返回同样的结果(我希望)。