射线与椭球相交

Question

我试图通过“挤压”空间来实现射线与椭球的交集，并做射线对球面：

1. 在对角线上创建椭球半径的mat3 S
2. 用S的逆乘积起始方向来压缩射线
3. 局部空间中半径为1.0的球面相交射线
4. 将hitPoint乘以S来解压它。

这是射线对球体：

float P = glm::dot(dir, sphereCenter-start);
float L = glm::distance(start, sphereCenter);
float d = sqrt(L*L - P*P);
if (d < radius) {
    float x0 = sqrt(1.f - d*d);
    hitPoint = start + dir*(P - x0);
    hitNormal = glm::normalize(hitPoint - sphereCenter);
}
else if (d == radius) {
    hitPoint = start + dir*P;
    hitNormal = glm::normalize(hitPoint - sphereCenter);
}
else {
    return false;
}
if (glm::distance(start, hitPoint) > dist) return false;
return true;

以下是挤压部分：

glm::vec3 S = start;
    glm::vec3 Dir = dir;

    auto sphereCenter = thisEntity()->transform()->getPosition();
    auto scale = thisEntity()->transform()->getScale();

    glm::mat3 q = glm::mat3(0);
    float x = _radius.x * scale.x;
    float y = _radius.y * scale.y;
    float z = _radius.z * scale.z;
    q[0][0] = x;
    q[1][1] = y;
    q[2][2] = z;
    glm::mat3 qI = glm::inverse(q);

    S = qI * S;
    Dir = qI * Dir;

    //calculate hit point in world space squished
    glm::vec3 hitPoint, hitNormal;
    if (!IntersectionsMath::instance()->segmentVsSphere(sphereCenter, S, Dir, dist, 1.f, hitPoint, hitNormal)) return;

    hitPoint = q * hitPoint;

    hit.pushHit(hitPoint, hitNormal, this);

目前的射线球体代码是为世界位置，我试图使它在原点工作，所以它应该不重要。射线和规则球体工作得很好，椭球是问题所在。我花了很多时间在这件事上，有些地方出了问题。

Answer 1

问题：

缩放的中心很重要。

解决方案：

在椭球体中心执行缩放。

..。而不是你现在所做的起源。这是因为，虽然射线的方向是相同的(它只是一个方向向量)，但在球体的标度源和中心之间的相对位移是不同的：

• 关于起源的缩放(当前代码)： 源S' = qI * S，中心C' = qI * C - S' - C' = qI * (S - C)
• 椭球中心的缩放(正确的程序)： 源S" = qI * (S - C)，中心C" = C - S" - C" = qI * (S - C) - C

这两种位移因原始椭球体的位置不同而不同；因此，你当前的射线很可能会误/给出假阳性。

修正代码：

// scale about the ellipsoid's position by subtracting before multiplying
// more appropriate name would be "ellipseCenter" to avoid confusion
S_ = qI * (S - sphereCenter);

// this ::normalize should really be in the intersection function
Dir_ = glm::normalize(qI * Dir); 

// calculate hit point in world space squished
// ... but around the origin in the squashed coordinate system
glm::vec3 hitPoint, hitNormal;
if (!IntersectionsMath::instance()->segmentVsSphere(
          glm::vec3::ZERO, S_, Dir_,
          dist, 1.f,
          hitPoint, hitNormal)) return;

// re-apply the offset
hitPoint = q * hitPoint + sphereCenter

// problem: hitNormal will not be correct for the ellipsoid when scaled
// solution: divide through each component by square of respective semi-axis
// (will provide proof upon request)
hitNormal.x /= (x * x); hitNormal.y /= (y * y); hitNormal.z /= (z * z);