获取ECDF的导数

Question

有可能区分ECDF吗？例如，以下面获得的结果为例。

set.seed(1)

a <- sort(rnorm(100))
b <- ecdf(a)

plot(b)

​

​

为了得到它的概率密度函数，我想取b的导数。

Answer 1

n <- length(a)  ## `a` must be sorted in non-decreasing order already
plot(a, 1:n / n, type = "s")  ## "staircase" plot; not "line" plot

不过，我想找出b的导数

在基于样本的统计中，由于样本的大小是有限的，并且由于样本的大小是有限的，并且ECDF是不可微的，所以估计的密度(对于连续的随机变量)并不是通过微分从ECDF中得到的。相反，我们直接估计密度。我想plot(density(a))才是你真正想要的。

几天后.

警告:以下只是一个没有统计依据的数值解！

我把它作为一个练习来学习关于形状约束加性模型的R包scam，这是伍德教授早期PhD学生Pya博士的一个mgcv儿童软件包。

逻辑是这样的：

• 使用scam::scam，将单调增长的P样条拟合到ECDF (您必须指定需要多少节)；[注意，单调性不是唯一的理论约束。要求平滑的ECDF在其两条边上“剪裁”：左边在0处，右边在1处。我目前正在使用weights来施加这样的约束，方法是在两条边赋予很大的权重]。
• 利用stats::splinefun，用单调插值样条重新参数化拟合样条，通过节数和节处预测值；
• 返回插值样条函数，该函数也能求出第一、第二和第三导数。

--为什么我希望它能起作用：

随着样本数量的增加，

• ECDF收敛到CDF；
• P样条是一致的，因此光滑的ECDF将越来越无偏；
• 平滑的ECDF的一阶导数对于PDF来说将越来越无偏。

谨慎使用：

• 你必须自己选择结的数目；
• 导数为，未进行归一化，曲线下面积为1；
• 结果可能相当不稳定，而且只对大样本量有利。

函数参数：

• x：一个样本向量；
• n.knots：结数；
• n.cells：绘制导数函数时的网格点数

您需要从CRAN安装scam包。

library(scam)

test <- function (x, n.knots, n.cells) {

  ## get ECDF
  n <- length(x)
  x <- sort(x)
  y <- 1:n / n
  dat <- data.frame(x = x, y = y)  ## make sure `scam` can find `x` and `y`

  ## fit a monotonically increasing P-spline for ECDF
  fit <- scam::scam(y ~ s(x, bs = "mpi", k = n.knots), data = dat,
                    weights = c(n, rep(1, n - 2), 10 * n))
  ## interior knots
  xk <- with(fit$smooth[[1]], knots[4:(length(knots) - 3)])
  ## spline values at interior knots
  yk <- predict(fit, newdata = data.frame(x = xk))
  ## reparametrization into a monotone interpolation spline
  f <- stats::splinefun(xk, yk, "hyman")

  par(mfrow = c(1, 2))

  plot(x, y, pch = 19, col = "gray")  ## ECDF
  lines(x, f(x), type = "l")          ## smoothed ECDF
  title(paste0("number of knots: ", n.knots,
               "\neffective degree of freedom: ", round(sum(fit$edf), 2)),
        cex.main = 0.8)

  xg <- seq(min(x), max(x), length = n.cells)
  plot(xg, f(xg, 1), type = "l")     ## density estimated by scam
  lines(stats::density(x), col = 2)  ## a proper density estimate by density

  ## return smooth ECDF function
  f
  }

## try large sample size
set.seed(1)
x <- rnorm(1000)
f <- test(x, n.knots = 20, n.cells = 100)

​

​

f是由stats::splinefun (read ?splinefun)返回的函数。

一种朴素的，类似的解决办法是在不平滑的情况下在ECDF上进行插值样条。但这是一个非常糟糕的想法，因为我们没有一致性。

g <- splinefun(sort(x), 1:length(x) / length(x), method = "hyman")
curve(g(x, deriv = 1), from = -3, to = 3)

​

​

stats::density提醒:强烈建议使用进行直接密度估计。