二维滤波核分解为一维核

Question

我试图把一个2D矩阵分解成两个向量，这样它们的外积等于原始矩阵。

使用SVD：

import cv2
import numpy as np

def createDoG(sigma, sigmaRatio=0.5):
    size = int(np.ceil(sigma*3))*2+1
    kernel1_2D = np.outer(cv2.getGaussianKernel(size, sigma), cv2.getGaussianKernel(size, sigma))
    kernel2_2D = np.outer(cv2.getGaussianKernel(size, sigma*sigmaRatio), cv2.getGaussianKernel(size, sigma*sigmaRatio))
    return kernel1_2D - kernel2_2D

def decompose(kernel):
    U, S, V = np.linalg.svd(kernel)
    h1 = U[:,0] * np.sqrt(S[0])
    h2 = V[0] * np.sqrt(S[0])
    return h1,h2

kernel_DoG = createDoG(1)
h1,h2 = decompose(kernel_DoG)
print("kernel_DoG == h1*h2':", np.isclose(kernel_DoG, np.outer(h1, h2)).all()) #prints False

为什么我不能分解这个矩阵？哪一类矩阵是可分的(分为两个向量)？

这个应用程序是用来分解一个内核的，所以我可以应用两道一维卷积来加速。我还在python中尝试了这个答案，但没有成功。

Answer 1

为什么我不能分解这个矩阵？

因为它是不可分离的。DoG和许多其他内核是不可分离的。

哪一类矩阵是可分的(分为两个向量)？

所有行都是缩放版本的其他行的内核是可分离的。也就是说，每一行i必须为窗体。

r[i][j] = a[i] * b[j]

其中b是“模型行”，而a[i]是每一行的缩放。这看起来很明显，因为上面的乘法是当您将列内核a与行内核b (以及问题中的代码使用的外部产品)合并时得到的。

要知道一个2D内核是否是可分离的，计算它的排名：秩必须是1。这意味着所有的行都是彼此缩放的版本。

作为参考，这里有两个不同的MATLAB解决方案，用于任意维数的内核分解：

• 我的解决方案，使用SVD
• DJ Kroon解，使用最小二乘法