量子V门1/sqrt(5) (I+ 2iZ)

Question

根据定义，门1/sqrt(5) (I + 2iZ)应该对一个量子位a|0> + b|1>进行操作，将其转换为1/sqrt(5) ((1+2i)a|0> + (1-2i)b|1>)，但是每个RUS步骤的转换都会执行以下操作--首先，ancillas处于|+>状态。

1. 起始表格：1/sqrt(2) (a,b,a,b,a,b,a,b)
2. CCNOT(ancillas，input)：1/sqrt(2) (a,b,a,b,a,b,b,a)
3. S(输入)：1/sqrt(2) (a,ib,a,ib,a,ib,b,ia)
4. CCNOT(ancillas，input)：1/sqrt(2) (a,ib,a,ib,a,ib,ia,b)
5. Z(输入)：1/sqrt(2) (a,-ib,a,-ib,a,-ib,ia,-b)

现在，在PauliX基础上测量ancillas与在状态中应用H()之后的PauliZ测量是等价的。现在我有两个混淆，应该将H x H x I或H x H x H应用于合并状态。而且，当两个测量值都为零时，这两个转换都不等同于第一段中定义的V门。我哪里出错了？

参考：https://github.com/microsoft/Quantum/blob/master/samples/diagnostics/unit-testing/RepeatUntilSuccessCircuits.qs (第一个示例代码)

Answer 1

这个转换是正确的，尽管它需要一些时间用笔和纸来验证。

另外，我们从状态|+>|+>(a|0> + b|1>)开始，它是向量形式的0.5 (a,b,a,b,a,b,a,b) (两个|+>状态都为系数贡献了一个1/sqrt(2) )。它不会影响我们在测量后的状态计算，因为它必须被重新规范化，但它仍然值得注意。

经CCNOT，S，CCNOT，Z序列得到0.5 (a,-ib,a,-ib,a,-ib,ia,-b)。因为我们只测量PauliX基础上的前两个量子位，所以我们只需要将Hadamards应用到前两个量子位，或者将H x H x I应用到合并状态。

我将冒昧地跳过在应用Hadamards和快速转发测量结果之后写出整个表达式，原因如下。我们只对输入量子位的状态感兴趣，如果这两个度量结果都为0，那么只收集以|00>作为前两个量子位的状态的总体状态的项就足够了。

在第一个量子位上测量|00>后，第三个量子位的状态为：(3+i)a |0> - (3i+1)b |1>，乘以一些归一化系数c。c = 1/sqrt(|3+i|^2 + |3i+1|^2) = 1/sqrt(10))。

现在，我们需要检查我们得到的状态，|S_actual> = 1/sqrt(10) ((3+i)a |0> - (3i+1)b |1>)是否与我们通过应用V门，|S_expected> = 1/sqrt(5) ((1+2i)a |0> + (1-2i)b |1>)所得到的状态相同。它们看起来不一样，但请记住，在量子计算中，状态被定义为一个全局相位。因此，如果我们能够找到一个绝对值为1的复数p，对于它，状态实际上是相同的。

这转化为p的下列方程和|0>和|1>的振幅：(3+i)/sqrt(2) = p (1+2i)和-(3i+1)/sqrt(2) = p (1-2i)。我们求解这两个方程，得到p = (1-i)/sqrt(2)，它确实有绝对值1。

因此，我们可以得出这样的结论:在所有变换之后，我们得到的状态实际上与我们通过应用V门得到的状态相当。