两个数xor后集位的奇偶校验

Question

我通过在C++中进行测试找到了一个观察结果。

观察是，

1)如果两个数都有奇数的集合位数，则XOR的集合位数为偶数数。

2)如果两个数都含有偶数的集合位，则其异或中包含偶数位数。

1)如果两个数，一个数有偶数的集合位，和，另一个数有奇数的集合位，则它的XOR中有奇数的集合位数。

我无法证明这一点。我想证明这一点。请帮帮我。

我在计算机上执行的代码是

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    vector<int> vec[4];
    for(int i=1;i<=100;i++){
       for(int j=i+1;j<=100;j++){ 
         int x=__builtin_popcount(i)%2;
         int y=__builtin_popcount(j)%2;
         int in=0;
         in|=(x<<1);
         in|=(y<<0);
         int v=__builtin_popcount(i^j)%2;
         vec[in].push_back(v);
      }
    }
      for(int i=0;i<4;i++){
         for(int j=0;j<vec[i].size();j++) cout<<vec[i][j] << " ";
         cout << endl;
      }
   return 0;
}

它给了我

第一行为100个，第二行为100个，第三行为100个，第四行为100个

如果在理解代码方面有疑问，请在评论中告诉我。

Answer 1

谢谢所有想要回答的人。

我们可以提供这样的证据，

假设N是第一个数中的集合位数，M是第二个数中的设置位数。

然后，这两个数字中的set位是N+M -2 (Δ)，其中δ是两个数字都设置了位的位位置的总数。这个表达式解释了每一件事。

偶数+奇数-偶=奇

奇+奇-偶数=偶数

偶数+偶-偶=偶

Answer 2

这种行为反映了一个易于证明的算术事实：

• 当你加上两个奇数，你得到一个偶数，
• 当你加上两个偶数，你得到一个偶数，
• 当你把一个奇数加到一个偶数时，你就得到了一个奇数。

有了这个事实，请考虑XOR的真值表，并注意，对于表中的四个选项({0, 0 => 0}、{0, 1 => 1}、{1, 0 => 1}、{1, 1, => 0})中的每一个选项，1s计数的奇偶校验。换句话说，如果输入有奇数的1s，输出也会有奇数的1s，反之亦然。

这个观察解释了观察结果的原因：XOR对两个数字加上N和M的集合位数，将产生一个与N+M具有相同的奇偶校验的数字。

Answer 3

xor刚刚清除了常见的比特。不管设置了多少位，只要有多少位是常见的。

对于所有的比特，结果为零。由于没有共同的位，结果是集合位的和。

除非您还考虑到公共比特的均等，否则没有基于输入平价的结论。