计算四维形状的三维截面

Question

到目前为止，我已经阅读了关于计算4D对象的三维相交点的如下内容：

Simple implementation of 4D cross-section

How do I get a 3D cross section of a 4D mesh?

然而，我真的很困惑到底发生了什么。我知道我需要计算4D对象(在我的例子中是tesseract)的每一个边缘与3D空间相交的点，然后加入所计算的点，但是我不确定如何计算相交点。

如果有人能解释他们如何计算整个三维横截面，那就太好了，但是我会满足于如何计算1，4D边的相交，就像两个4D点的交点一样。

(与我发现的第一个链接中所显示的不同，我希望能够在第4轴上的任意w坐标上这样做，这样就可以计算出三维空间沿w轴的位置，以及本身的位置和方向)

谢谢

Answer 1

我在这里做过(你的第一个链接是它的副本)

• how should i handle morphing objects in opengl?

您将发现不仅仅是横截面，还有带有横截面呈现的C++ 4D tesseract示例(没有)。

现在你要问的是，如何计算几何学的边缘与同轴的4D超平面w = constant之间的交集？这很容易，因为边是由两点p0,p1定义的直线，因此可以使用线性插值：

p(t) = p0 + (p1-p0)*t

这将给出直线中的任意点，而t = <0,1>是标量线性参数，定义行上p(t)的位置。

p(0) = p0
p(1) = p1
p(0.5) = mid point between p0,p1

现在你只想解t，所以w等于你的常数，让它叫做w_cut，作为切割平面。

p(t).w = w_cut
p0.w + (p1.w-p0.w)*t = w_cut
t = (w_cut-p0.w) / (p1.w-p0.w)

如果t在<0,1>区间内，边缘与你的平面相交。如果(p1.w-p0.w)=0整条边在平面上。

现在，正如链接答案中提到的，这不涉及拓扑，所以您将获得点和边，而不是关于如何从它们构造三维几何的相互关联的信息，并且需要进行彻底的分析。更好的方法是把你的网格组织成四面体，检查它的三角形的交点，而不仅仅是边。

所以你要检查四面体每个三角形的3条边。每个三角形在相交后转换为：

1. 没什么-忽略
2. 单点-记住
3. 单边-记住它的两点
4. 全三角形-记住它的3点

删除重复点，在此之后，您应该有一个四面体交集后的点的列表(0,3或4点)，因此：

1. 0点-忽略
2. 3点-渲染三角形
3. 4点-渲染四面体

1和2点也有可能存在，但您可以忽略它们，除非您还想呈现无限细的线条和点，在这种情况下，可以呈现它们。有关更多信息，请在上面的链接中查看此函数：

void mesh4D::draw_cut(double w_cut)

就像我在这里描述的那样。唯一的问题是我们失去了多边形缠绕。但是这可以通过在normal_of_triangle和向量center_of_triangle - center_of_tetrahedron之间做点来修复，如果符号是负的，法线是向内指向的。所以，如果你知道你想用哪种方式来指向三角形点的反序，如果出现了错误的方向。