为什么基本矩阵有7个自由度？

Question

在基本矩阵中有9个参数来表示左、右图像的像素坐标，但只有7个自由度。

在我搜索过的几页上，这个理由是：

1. 齐次方程意味着我们失去了一个自由度。
2. F= 0的行列式，因此我们失去了另一自由度。

我不明白为什么这两个原因意味着我们失去了2自由度--有人能解释一下吗？

Answer 1

由于基本矩阵是由9个参数组成的，所以我们最初有9个自由度，这意味着我们需要9个对应的点来计算基本矩阵(F)。但由于以下两个原因，我们只需要7个相应的点。

理由1

我们失去了1自由度，因为我们使用齐次坐标。这基本上是一种通过添加额外维度将nD点表示为向量形式的方法。( ie) 2D点(0,2)可以表示为0,2,1，通常是x，y,1。当使用齐次坐标进行2D/3D变换时，有一些有用的性质，但我假设你知道。

现在给出表示像素坐标的表达式p和p‘：

p'=[u',v',1] and p=[u,v,1]

基本矩阵：

F = [f1,f2,f3]
    [f4,f5,f6]
    [f7,f8,f9]

和基本矩阵方程：

(transposed p')Fp = 0

当我们以代数形式重复这个表达式时，我们得到以下结果：

uu'f1 + vu'f2 + u'f3 + uv'f4 + vv'f5 + v'f6 + uf7 + vf8 + f9 = 0. 

在Af=0形式的齐次线性方程组(基本上是上述公式的因式分解)中，我们得到了两个分量A和f。

答：

[uu',vu',u', uv',vv',v',u,v,1] 

F (f本质上是向量形式的基本矩阵)：

[f1,f2'f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9]

现在，如果我们看看向量A的分量，我们有8个未知数，但由于齐次坐标，我们有一个已知值1，因此我们现在只需要8个方程。

理由2

det F = 0.

行列式是从方阵中得到的值。

我不完全确定这个属性的数学细节，但我仍然可以推断出基本的想法，希望你也可以。

基本给定一些矩阵A

A = [a,b,c]
    [d,e,f]
    [g,h,i]

行列式可以使用以下公式计算：

det A = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

如果我们看使用基本矩阵的行列式，代数看起来会是这样的：

F = [f1,f2,f3]
    [f4,f5,f6]
    [f7,f8,f9]

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8)

现在我们知道基本矩阵的行列式是零：

det F = (f1*f5*f8)+(f2*f6*f7)+(f3*f4*f8)-(f3*f5*f7)-(f2*f4*f9)-(f1*f6*f8) = 0

因此，如果我们只计算出基本矩阵的9个参数中的7个，我们就可以用上面的行列式方程计算出最后一个参数。

因此，基本矩阵具有7自由度。

Answer 2

F只有7个自由度的原因是

1. F是一个3x3齐次矩阵。同质意味着矩阵中存在标度模糊，因此标度并不重要(如@Curator Corpus的例子所示)，这降低了一个自由度。
2. F是一个秩为2的矩阵，它不是满秩矩阵，所以它是奇异的，其行列式是零(证明这里)。F是一个秩为2的矩阵的原因是它将一个2D平面(image1)映射到通过表2的所有线(在图2中)。

希望能帮上忙。

Answer 3

对于nbro的最高票数答案，我认为可以这样解释，当我们有第二个理由时，矩阵F有一个rank2，所以它的行列式是零作为对f变量函数的约束。因此，我们只需要7分来确定其余的变量(f1-f8)，与先前的竞争对手。8个方程，8个变量，只留下一个解。所以有7自由度。